11. Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду

Пусть L – лин. пр-во. А^(x, y) - симметрическая билинейная форма.

(х) – квадр. форма. S = {е₁, … , е_n}– базис L.

Если в базисе S

то S – канонический базис для квадр. формы (х);

Утв: S – канонический базис для квадр. формы (х)  когда (х) = ₁x₁² + ₂x₂² + … +_nx_n²;

Д ок-во:

S – канонический базис 

 (х) = X^TAX =  = ₁x₁² + ₂x₂² + … +_nx_n²; ч.т.д

Положительным индексом инерции квадратичной формы (i₊) называется кол-во квадратов с положительными коэф. в её каноническом виде.

Отрицательным индексом инерции квадратичной формы (i_-) называется кол-во квадратов с отрицательными коэф. в её каноническом виде.

Рангом квадратичной формы называется кол-во квадратов переменных с ненулевыми коэф. в её каноническом виде, т.е. |r = i₊ + i_-|

Квадр. форма называется невырожденной, если её ранг равен кол-ву переменных.

Закон инерции квадратичных форм:

Кол-во положительных, отрицательных и нулевых коэф. в каноническом виде квадр. формы НЕ зависит от выбора канонического базиса. (без док-ва).

-------------------------------------------------------------------------------------------------

12. Знакоопределённые квадратичные формы

Пусть L – лин. пр-во. (х) – квадр. форма.

Квадр. форма (х) положительно определена, если:

(х) > 0, для любого (х)  L, (х)  0;

Квадр. форма (х) отрицательно определена, если:

(х) < 0, для любого (х)  L, (х)  0;

Канонический вид:

(х) = ₁x₁² + ₂x₂² + … +_nx_n² (при условии _i > 0, i = 1, 2, … n);

Теорема:

Для того чтобы квадр. форма (х) была положительно определена необходимо, чтобы она была невырождена и её положительный индекс инерции (i₊) = r.

Док-во:

а) (х) -положительно определена. Докажем, что все _i > 0.

Пусть ₁  0. Рассмотрим значение квадр. формы на первом базисном векторе:

е₁= ; ( е₁) = ₁1²  0;  Предположение неверно  ₁  0 и т.д.

б) обратно: Пусть все коэф. положительны  для любого (х): (х) = ₁x₁² + ₂x₂² + … +_nx_n² > 0; ч.т.д.

Следствие: Квадр. форма (х) отрицательно определена  она невырождена и i_- = r.

Теорема:

Если квадр. ф-ма (х) в линейном пр-ве L положительно, то в любом базисе определитель её матрицы > 0.

Док-во:

а) Канонический базис  матрица квадратичной формы имеет диагональный вид  detA > 0.

б) В произвольном базисе А = P^TAP; detA = detP^TdetAdetP = (detP)²detA > 0;ч.т.д.

Теорема: Пусть l-линейное пр-во. S- базис, (х)- квадр. Ф-ма,а- матрица квадр. Формы в бАзИсе s.

Все главные миноры отличны от 0. Тогда существует канонический б-с, в котором квадр ф-ма имеет вид:

Док-во:

Построим канонический базис:

Пустьf1=e1= ;f2=p12e1+ 2e2= ; f3=p13e1+ p23e2+ 3e3= ;

A^(ei,fj)= A^(e1,f1)= A^(e1,e1)=  A^(e1,e1)= 1М1=1

A^(e1,f2)= A^(e1, p12e1+ 2e2)= p12 A^(e1,e1)+ 2 A^(e1,e2)= p12 а12+ 2 а22=1

-система имеет ед решение

A^(e1,f3)= A^(e1, p13e1+ p23e2+ 3e3)= p13а11+ p23 а12+3a13=0

A^(e2,f3)= A^(e2, p13e1+ p23e2+ 3e3)= p13а21+ p23 а22+3a23=0

A^(e3,f3)= p13а31+ p23 а32+3a33=1

Докажем, что f1,f2,f3-канонический базис:

Составим матрицу формы в {f1,f2,f3}:

A^(f1,f1)= A^(2e1, 1)= 1 A^(e1,f1)= 1

A^(f2,f2)= A^( p12e1+ 2e2,f2)= 2

A^(f3,f3)= 3

Все остальные равны нулю.

Критерий Сильвестра:

Пусть L-линейное пр-во. S- базис, (х)- квадр. ф-ма, А- матрица квадр. Формы в б-се S.

Квадратичная форма положительно определена  все главные миноры ее матрицы положительны.

Док-во:

1. Пусть главные миноры положительныпо теореме (1) существует б-с, в котором форма имеет вид:

2. пусть форма положительно определена. Докажем, что все главные миноры положительны.

S={e₁…e_n}, <S>=< e₁…e_n >-лин оболочка.

L₁₁=< e₁>……….. L_1k=< e₁…e_k>

Вид квадратичной формы в L_kK

L₁₁=А^(e₁,e₁)=a₁₁ итп

На каждом из п/п квадр. ф-ма полож определена определители м-ц положительны.

Следствие: Квадратичная форма отрицательно определена  все главные миноры ее матрицы имеют чередующиеся знаки начиная с «-».