8. Замена базиса

Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса:

А-линейный оператор

А-матрица линейного оператора в базисе S₁ = {e₁…e_n}

А-матрица линейного оператора в базисе S₂ = {f₁…f_n}

P_{S1 S2} - матрица перехода S₁ S₂ (не вырождена: т.к. f₁…f_n – л.н.з., то rang(P)=n  det(P)0).

Разложим (f₁…f_n) по базису S₁: f₁=a₁₁е₁+…+a_1ne_n; … f_n=a_n1е₁+…+a_nne_n;

Тогда x = x₁f₁+…+x_nf_n = x₁ +…+x_n = =  =  X = P_S1S2  X

Тогда: А=Р ^-1АР  определители матрицы в различных базисах совпадают. (т.е.определитель матрицы лин. оператора инвариантен к выбору базиса).

Док-во:

А^x=у - вектора, получающиеся при действии оператора. у=Ах (*)

P_{S1 S2}у=А(P_{S1 S2}*х), с учетом (*)  А=Р^-1АР

9. Собственные значения и собственные вектора.

Пусть L-линейное пространство.Ã-линейный оператор на L.

-собственный вектор лин оператора А, если выполняется условие: Ã=, то есть собственные векторы под действием линейного оператора переходят в пропорциональные, -собственное значение или коэффициент пропорциональности.

Ã=; Ã-=0; (Ã-E)=0; 

(Ã-E)=0-характеристическое уравнение.

Пример:

1. Оператор поворота.

a)  =  n – собственных векторов и значений нет.

б)  =  + 2k – все ненулевые вектора и  = -1.

в) = 2k - все ненулевые вектора и  = 1.

Теорема: Пусть L – лин. пр-во. А^ - лин. оператор. ₁, ₂ – собств. знач.

(₁  ₂); Тогда:А^ х₁ = ₁ х₁, А^ х₂ = ₂ х₂  х₁, х₂ – линейно независимы.

Док-во: Пусть х₁, х₂ – линейно зависимы. Тогда  ₁, ₂ (одновременно  0): ₁ х₁ + ₂ х₂ = 0 (1)  А^(₁ х₁ + ₂ х₂) = 0  ₁₁х₁ + ₂₂ х₂ = 0 (2). Хотя бы одно из ₁, ₂  0. Пусть это будет ₂  0.

Домножим первое уравнение на ₂ и вычтем его из второго: ₁(₁ - ₂) х₁ = 0  ₁ = 0 (это значение ₁ = 0 подставим в первое ур-ие): ₂х₂ = 0  ₂ = 0 (т.к. х₂  0, как собственный вектор), но ₂  0  х₁, х₂ – лнз.

10. Билинейная форма и её матрица

Опр: Пусть L – лин. пр-во. Рассмотрим числовую ф-ию А^(x, y). Эта ф-ия называется билинейной формой, если выполнено следующее условие:

А^(x + z, y) = А^(x, y) + А^(z, y); А^(x, y + z) = А^(x, y) + А^(x, z);

А^(x, y) = А^(x, y); А^(x, y) = А^(x, y)

(линейность по первому и второму аргументам)

Пример: Пространство V₃ (x, y) = |x||y|cos (скалярное произведение)

(x, y) = (y, x)

Опр: билинейная ф-ма А^ называется симметрической если:

А^(x, y) = А^(y, x) для любых y, x  L;

Координатная и векторно-матричная запись билинейной ф-мы:

Пусть L – лин. пр-во. S = {е₁, … , е_n} – базис L. А^(x, y) - билинейная форма:

х = х₁е₁+ … +х_ne_n = x_ie_i ; y = y₁е₁+ … +y_ne_n = y_je_j.

Итак: А^(x, y) = А^(x_ie_i, y_je_j) = x_i A^(e_i, y_je_j) = x_iy_j A^(e_j, e_i)= =(обозначим a_ij = A^(e_j, e_i) ) = x_iy_ja_ij = x_i ( y_ja_ij ) = Обозначим ( y_ja_ij ) = i. Итак А^(x, y) = x_iy_ja_ij – координатная запись билинейной формы.

А = (а_ij) - матрица билин. формы А^(x, y) в базисе S.=



 А^(x, y) = X^TAY -векторно-матричная запись билин. формы.

Преобразование матрицы билин. формы при переходе к новому базису:

Пусть L – лин. пр-во. S₁, S₂ – базисы L. А^(x, y) - билинейная ф-ма.

S₁ = {е₁, … , е_n}. S₂ = {f₁, … , f_n}. A₁, A₂ – матрицы билин. формы в базисах S₁, S₂ соответственно.

А^(x, y) = X^T₂A₂Y₂; {X₁ = PX₂; Y₁ = PY₂}

А^(x, y) = X^T₁A₁Y₁ = (PX₂)^TA₁(PY₂) = X₂^T P^T A₁ PY₂ ; [P^T A₁ P = A₂]

ИТАК: А₂ = (Р_S1-S2)^TA₁ (Р_S1-S2);

Квадратичная форма, порождённая симметрической билин. формой:

Пусть L – лин. пр-во. А^(x, y) - симметрическая билинейная форма.

Опр: (х) = А^(x, х) - Квадратичная форма, порождённая симметрической билин. формой.

Координатная и векторно-матричная запись:

Пусть L – лин. пр-во. А^(x, y) - симметрическая билинейная форма.

(х) = А^(x, х), S = {е₁, … , е_n}– базис L. А – матрица билин. формы в базисе S.

Тогда: (х) = X^TAX – матричная запись квадратичной формы

(х) =  x_iy_ja_ij – координатная запись квадратичной формы

Теорема:

Зная значение квадр. формы (х) для любого (х), можно однозначно восстановить симметрическую билинейную форму, порождённую квадр. формой (х).

Док-во:

(х + y) = А^(x + y, x + y) = А^(x, x) + А^(x, y) + А^(y, x) + А^(y, y) = (х) + 2А^(x, y) + (y);  А^(x, y) = ½((х + y) - (x) - (y));