7. Линейные операторы и их матрицы.

Пусть L-линейное пространство.

Линейный оператор-отображение элемента L в себя(Ẩ: L->L), что:

-свойства линейности.

Пример линейного оператора:

- Нулевой:(0 : L->L), 0*х=0

- тождественный:(I: L->L), I*х=x

- подобия:( : L->L), *х=*х

- поворота:(Т: V₃->V₃),

-дифференцирования: (D:ⁿ ->Pⁿ),D(p(t))=p(t)

Матрица линейного оператора:

Пусть L-линейное пространство. S = {e₁…e_n} - базис L;

Ã-линейный оператор на L.

Подействуем на базисные векторы оператором A^:

A^e₁= f₁ = a₁₁e₁+…+a_n1e_n = A^e_n= f_n = a_1ne₁+…+a_nne_n= ;

Составим из этих координат матрицу: A = - матрица лин. оператора A^ в базисе S.

Векторно-матричная запись действия линейного оператора:

Теорема: Пусть L – лин. пр-во, S = {e₁…e_n} - базис L; Ã-линейный оператор на L. A – матрица лин. оператора в базисе S. Тогда: Y = AX;

Док-во:

Подействуем A^x = A^(x₁e₁+…+x_ne_n) = x₁A^e₁+…+x_nA^e_n= = =  Y = AX;

ч.т.д.

Теорема:

Пусть L – лин. пр-во, S = {e₁…e_n} - базис L; A – кв. матрица порядка (n) Ã: LL: Y = AX; Тогда:

1. Отображение A явл. лин. оператором.

2. матрица А – матрица лин. оператора в бизисе S.

Док-во:

1. а) A^(x + y) = A(X + Y) = AX + AY = A^x + A^y;

б) A^(x) = A(X) = A^x;

 A^ - лин. оператор.

2. Составим матрицу лин. оператора в базисе S:

A^e1 = A = и т.д. воздействуем на каждый.  А – это и есть матрица лин. оператора в базисе S. ч.т.д.

Вывод: Между квадратными матрицами порядка n и линейными операторами на L существует взаимнооднозначное соответствие:

-любому оператору может быть сопоставлена квадратная матрица

-любой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен линейный оператор на L.

Составим матрицы линейных операторов в приведенных примерах:

- Нулевой:(0 : L->L), 0*х=0-имеет в любом базисе нулевую матрицу

- тождественный:(I: L->L), I*х=x- имеет в любом базисе единичную матрицу

- подобия:( : L->L), *х=*х- имеет в любом базисе диагональную матрицу, на которой стоят .

- поворота:(Т: V₃->V₃),

Ядро и образ линейного оператора и их свойства:

Пусть L-линейное пространство. А-линейный оператор

КЕR A ={L:*}-ядро оператора

IM A={{УL:*У}-образ оператора

Примеры:

- оператор поворота:(Т: V₃->V₃), Тх=у

КЕR Т ={0}. IM Т={V₂

-проец на плоскость ХOУ: КЕR А ={*к}. IM Т={уV_{3 ,}(у, к)=0

свойства:

-Ядро и образ - лин п/п пр-ва L.

Док-во:

Пусть x₁, x₂  Ker(A^): AX₁ = 0, AX₂ = 0; Докажем, что x₁, x₂  Ker(A^):

1) A^(x₁+x₂) = AX₁ + AX₂ = 0  (x₁+x₂)  Ker(A^);

2) A^(x₁) = (AX₁) = 0  x₁  Ker(A^);

Итак: ядро явл. лин. подпр-ом. ч.т.д

-Размерность ядра + размерность образа = размерность L.

Действия с линейными операторами:

(А+В)х=Ах+Вх , xL

(А)х=(Ах)  , xL

(АВ)х=А(Вх) xL

Утверждение: А+В, А, АВ - линейные операторы.

Док-во:

1) (A^+B^)(x + y) = A^(x+y) + B^(x+y) = A^x + A^y + B^x + B^y = (A^+B^)x + (A^+B^)y;

2) (A^+B^)(x) = A^(x) + B^(x) = A^x + B^x = ( A^x + B^x) = (A^+B^)x;

ч.т.д.

Обратный оператор. Его линейность

Опр: Пусть L-линейное пространство. А-линейный оператор

А^-1-обратный к А, если:

-(А*А^-1)х=х

- А*А^-1 = I-тождественный оператор.

ОБРАТИМОСТЬ:

-в терминах ядра: оператор обратим  ядро оператора состоит только из нулевого вектора.

Док-во:

KerA^ = {0}  AX=0 имеет только нулевое решение  det(A)  0(A^)^-1

ч.т.д.

-в терминах матрицы: оператор обратим  детерминант его матрицы не равен 0 (при этом матрица обр. оператора – это A^-1).

Док-во:

1) Пусть (A^)^-1 существует. Обозначим его матрицу в базисе S через B.

(A^)(A^)^-1 =(A^)^-1(A^) = I^ и AB = BA = E возможно  B = A^-1;

2) Пусть det(A)  0. Определим лин. оператор В^ по правилу:

B^x = A^-1 ; Тогда: A^(B^x) = A( A^-1 ) = = x

B^(A^x) = A^-1( A ) = = x

 A^B^ = B^A^ = I^  B^ = (A^)^-1;

ч.т.д.

-в терминах линейных однородных систем: оператор обратим существуют ненулевые решения неоднородной с/у из его матрицы.

Линейность обратного оператора (теорема)

Пусть L-линейное пространство. А- оператор на L.А^-1-обратный к А

Тогда А^-1-линейный, если А-линейный.

Док-во: НАМ НАДО ДОКАЗАТЬ линейность А^-1:

а) А^-1( х+у)= А^-1( х)+ А^-1( у)

б) А^-1( х)= А^-1( х))

1) А(А^-1( х+у)) = А(А^-1( х)+ А^-1( у))

т.к. х+у=(х+у)  А^-1(x + y) = А^-1x + А^-1y. Докажем, что если  А^-1, то А^x  А^y при xy; Пусть A^x = A^y  A^(x - y) = 0  А^-1 не существ.

A^(0) = 0

2) аналогично.

L – лин. пр-во. A^ - лин. оператор. А – м-ца лин. оператора в базисе S.

ч.т.д.