6. Системы линейных уравнений и вся хрень с этим связанная.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.

Однородные с/у: системы, правые части которых равны нулю(b_k=0)

Матричный вид однородной системы: Ax=0. Однородная система в с е г д а с о в м е с т н а, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение: x₁=0 , x₂=0 , ..., x_n=0.

Если однородная система имеет единственное решение(∆≠0), то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

решения ОДНОРОДНОЙ С/У:

1. Если rangA_B=rang A( то есть r=n ), то нулевое решение единственно

2. Если rangA_Brang A( то есть rn ), то сущ ненулевое решение

3. Если m=n, А-кв матрица сущ ненулевое решение det =0

Утв: Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n.

ФСР-совокупность лнз решений однородной системы уравнений(базис в линейном пространстве всех решений)

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ С/У-

если ранг r матрицы A однородной линейной системы Ax=0 меньше числа неизвестных n и векторы (e₁ , e₂ , ..., e_n-r )образуют ее фундаментальную систему решений (Ae_i =0, i=1,2, ..., n-r), то любое решение x системы Ax=0 можно записать в виде: x=c₁e₁ + c₂e₂ + ... + c_n-r e_n-r ,

где c₁ , c₂ , ..., c_n-r — произвольные постоянные.

Неоднородные с/у:

системы, правые части которых одновременно не равны нулю.

В отличие от однородной системы, эта система совместна не всегда.

Утв: (теорема Кронекера-Капелли):

Неоднородная система совместна<=> ранг(А)= ранг(А|B)

Док-во:

1) Пусть система совместна   набор X = : x₁A₁+…+x_nA_n = B;

Это значит, что В явл. лин. комбинацией сто лбцов a₁, …, a_n. Известно, что при добавлении к системе вектора, являющегося линейной комбинацией векторов этой системы; ранг системы не меняется. Поскольку r(A) совпадает с рангом системы её столбцов, то r(A) = r(A|B);

2) Обратно: Пусть r(A) = r(A|B) = r;

Р ассмотрим базисный минор матрицы А. Этот минор образован первыми r столбцами (A₁ … Ar) и какими-то r строками матрицы А  A₁ … Ar образуют базис в системе всех столбцов матрицы А, а также т.к. r(A) = r(A|B) и в системе всех столбцов рассматриваемой матрицы. В частности столбец В является лин. комбинацией системы столбцов:

x₁A₁+…+xrAr + 0A(r+1)+…+ 0An = B. Итак X = - решение системы  совместна.

ч.т.д.

Количество решений	Ранги при этом:	Детерминант при этом
∞-	ранг(А)=ранг(А|B)	=0
0	ранг(А)≠ранг(А|B)	=0
1	ранг(А)=ранг(А|B)	≠0

Связь решений неоднородной и соответствующей однородной систем уравнений.

X _{общ. неодн}=Х _{общ. одн}+Х _{частн. неодн}

Д-во: рассмотрим Aх =0 (1) и Aх =В (2)

1. пусть столбец Х1-решения(1), Х2-решения(2), Aх₁ =0, Aх₂ =0,

покажем, что (х₁+ х₂)-решение: A(х₁+ х₂)= Aх₁+ Aх₂=0-реш(1)

2. пусть Х1, Х2-решения(1),

A(х₁- х₂)= Aх₁ - Aх₂=В-В=0- решение(2)

_{----------------------------------------------------------------------------------}