4. Ранг матрицы. Определение. Теорема о базисном миноре и следствия из нее. Элементарные преобразования матриц, сохранение при этом ранга матрицы. Матрица ступенчатого вида и ее ранг. Метод Гаусса.

Опр: Прямоугольная таблица m*n чисел, расположенных в m строках и n столбцах называется прямоугольной (m,n) матрицей или просто матрицей.

Числа m и n называются порядками или размерностями матрицы.

Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка m.

Пусть А матрица MN выберем в матрице А произвольно k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу, определитель которой и есть минор k-того порядка А.

Число R - ранг ненулевой матрицы А, если в А существует минор порядка R0, а все миноры порядка  R+1(если они существуют) равны нулю. Другими словами, ранг матрицы это максимальный порядок её отличных от нуля миноров.

Строки матрицы можно рассматривать, как векторы лин. пр-ва, заданные своими координатами в некотором базисе и говорить о линейной комбинации строк (столбцов), их линейной зависимости (независимости), о ранге системы строк (столбцов).

Пусть A_m*n ранга (r). Любой минор порядка (r)  0 называется базисным минором матрицы А, а строки и столбцы его образующие – базисными строками и столбцами.

Теорема: Базисные строки (столбцы) матрицы А линейно не зависимы, все остальные строки (столбцы) являются комбинацией базисных строк (столбцов).

Следствие1: базисные строки (столбцы)образуют базис в системе строк (столбцов) матрицы А, т.е. образуют базис линейной оболочки системы строк (столбцов).

Следствие2: Rстрок = Rстолбцов =R(А);

Следствие3: Пусть A – квадратная матрица порядка m, тогда detA = 0  строки (столбцы) лиейно зависимы  ранг матрицы < n.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы сохраняется.

Опр: Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:

1. перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы;

2. умножение любой строки (столбца) на произвольное, отличное от нуля, число;

3. сложение любой строки (столбца) с другой строкой (столбцом), умноженной (умноженным) на произвольное, отличное от нуля, число.

Матрица ступенчатого вида (миним) имеет ранг равный количеству ненулевых строк ()

Методика приведения матрицы к ступенчатому виду:

1) выбираем строку , первый элемент которой-«1» и ставим ее на первое место или делим строку на первый элемент. Вычитаем эту строку, умноженную на первый к-т этих строк , из остальных.

2) делим вторую строку на второй элемент или переставляем со строкой, в которой второй элемент-единица. Вычитаем эту строку, умноженную на второй к-т этих строк , из остальных.

……………………………………………итд

После данных преобразований получается матрица , максимально приближенная к диагональному виду.

Утв: Любую прямоугольную матрицу можно с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатой форме. Алгоритм приведения матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарных преобразований называют Гауссовым исключением.

-------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Ранг системы векторов. Вычисление его через ранг матрицы , составленной из координат в некотором базисе.

Пусть S{е₁ е₂ …е_n} - система векторов линейного пространства L.

Число r - ранг системы S если:

-в S существует лнз подсистема, содержащая r векторов.

-Любая подсистема системы S, содержащая  r+1 - лз.

Замечание: Если S содержит ненулевые векторы, то 1  r = r(S) n, причём r = n  S л.н.з.

Опр: Пусть ранг системы S равен (r). Любая л.н.з. подсистема системы S, содержащая (r) векторов называется базой системы S – максимальной л.н.з. подсистемой.

Ранг системы равен размерности ее линейной оболочки.

Теорема:

Любой вектор лин. оболочки системы S (в частности любой вектор <S>) линейно выражается через вектора базы S.

Док-во:

1) Пусть ранг S: r(S) = r и S = {e1, …, er} – база в S. Добавим к S любой вектор из S  получим систему { e1, …, er, ei} – л.з. по определению ранга системы  По крайней мере один из её векторов выражается через другие (это будет ei, так как первые (r) векторов – л.н.з.).

2) Рассмотрим любой вектор x  <S>. По определению x является лин. комб-ей векторов системы <S>, а они, в свою очередь, явл. лин. комбинацией базы S  вектор x линейно выражается через S.

ч.т.д.

Следствия:

1) Линейные оболочки системы S и любой её базы – совпадают.

2) Любая база системы S образует базис её линейной оболочки (л.н.з. – из определения базы; полнота – из доказанной теоремы).

3) При добавлении к системе вектора из её лин. оболочки – ранг системы сохраняется.

4) При добавлении в систему вектора не входящего в её лин. оболочку – ранг системы увеличивается на 1.

5) Система векторов S – л.н.з.  когда образует базис своей линейной оболочки.

Теорема:

При элементарных преобразованиях системы векторов ее ранг не меняется и при этом база переходит в базу(затрагивая векторы только этой подсистемы).

Док-во:

Пусть S получается из S с помощью элементарных преобразований, тогда r(S)  r(S), а также векторы S можно преобр. из векторов системы S y = x1 + x2, x2 = ½(y) – ½(x1). Так как r(S)  r(S), то r(S) = r(S).

Пусть S1 – база в S r(S1) = r. Проведём элементарные преобразования над S1 и получим S1, содержащую r векторов и ранг этой системы (S1)=r  S1  S1 - база в S, т.е. S  S. (база в базу) ч.т.д.

Так как при элементарных преобразованиях системы векторов ее ранг не меняется и при этом база переходит в базу(затрагивая векторы только этой системы)- как и у матриц, то ранг системы векторов можно найти , записав ее координаты в некотором базисе, и, составив из них матрицу, посчитать ее ранг. Ранг матрицы будет равен рангу системы векторов.

---------------------------------------------------------------------------------