ОГЛАВЛЕНИЕ:

1. Линейные пространства. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств.

2. Базис и размерность линейного пространства. Определение базиса и размерности. Примеры линейных пространств и базисов в них.

3. Линейное подпространство. Понятие линейного подпространства. Базис и размерность линейного подпространства. Дополнение базиса п/п до базиса всего пространства. Примеры.

4. Ранг матрицы. Определение. Теорема о базисном миноре и следствия из нее. Элементарные преобразования матриц, сохранение при этом ранга матрицы. Матрица ступенчатого вида и ее ранг. Метод Гаусса.

5. Ранг системы векторов. Вычисление его через ранг матрицы , составленной из координат в некотором базисе.

6. Системы линейных уравнений и вся хрень с этим связанная.

7. Линейные операторы и их матрицы.

8. Замена базиса.

9. Собственные значения и собственные вектора.

10. билинейная форма и её матрица

11. приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду

12. знакоопределённые квадратичные формы

13. евклидово пространство

14. Матрица Грамма

15. ортогональный и ортонормированный базис

16. Сопряженный оператор

17. самосопряженный оператор

18. ортогональный оператор

19. приведение квадратичной формы к каноническому виду.

-------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Линейные пространства. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств.

Множество L называется линейным пространством, если в нём определены операции сложения элементов и умножения элемента на число, удовлетворяющие следующим аксиомам:

1. Аксиомы замкнутости:

1) x , y  L  x + y  L

2) xL   xL

2. Аксиомы сложения:

1)  x , y  L  x+y=y+x

2)  x , y , z  L  (x+y)=z=x+(y+z)

3)  0(нулевой элемент): xL  0+x=x; x+(-x)=0

3. Аксиомы умножения:

1) xL  1*x=x

2) , , xL  (x)=()x

4. Аксиомы дистрибутивности:

1) , , xL  (+)x=x+x

2)  , x,уL  (x+y)=x+y

Примеры линейных пространств:

-Множество ℝ-целых действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения на число.

-Множество V₃ геометрических векторов- операции сложения и умножения вектора на число.

-Множество геометрических векторов, параллельных заданной плоскости с обычной операцией сложения и умножения на число.

-Множество Rⁿ арифметических векторов, элементы - упорядоченная последовательность действительных чисел длины n.

Rⁿ ={( X_1, X₂…,X_n), x_iR I=1…n} x_i – компоненты вектора.

x + y = (X₁…X_n) + (Y₁…Y_n); x = (X₁…X_n) = (X₁…X_n)

Последовательности:

0 = (0, …, 0) – нулевая; -X = (-X₁…-X_n) – противоположная.

При n=1 прост-во Rⁿ совпадает с пр-ом действительных чисел R.

При n=3 прост-во Rⁿ совпадает с пр-ом геометрических векторов, записанных через координаты.

-P_n всех многочленов с действ. коэф. степени  n.

2. Базис и размерность линейного пространства. Определение базиса и размерности. Примеры линейных пространств и базисов в них.

Опр: Упорядоченная система векторов {е₁е₂…е_n} линейного пространства L называется базисом пространства L если эта система л.н.з. и полна в L.

ЛНЗ- _ е₁+₂ е₂+…+_n е_n=0  _ +₂ +…+_n=0

Полна: через него выражается любой элемент пространства.

Размерность линейного пространства - максимальное число линейно не зависимых векторов (т.е. кол-во векторов в любом из базисов).

Пространство у которого существует базис содержащее конечное число векторов называется конечным. Все базисы конечного линейного пространства содержат одинаковое число векторов.

-В n-мерном линейном пространстве L любая лнз система содержит n векторов.

-В n-мерном линейном пространстве L любая лнз система содержащая n векторов и образует базис.

Док-во:

Пусть S – л.н.з. система, содерж. n векторов. Докажем, что S полна.

Пусть S – не полна  в L  x, кот. не явл. лин. комбинацией векторов e₁…e_n. Добавим этот вектор к системе S. Система останется л.н.з., но теперь она содержит (n+1) вектор, что приводит к тому, что размерность пр-ва равна n  S – полна.

ч.т.д.

-В n-мерном линейной пространстве L любая полная система содержащая n векторов образует базис.

Док-во:

Докажем, что S – л.н.з. Пусть S – л.з.  один из её векторов явл. линейной комбинацией остальных. Отбросим этот вектор, получим полную систему, содержащую (n-1) вектор  это противоречит тому, что размерность пр-ва равна (n).

ч.т.д.

Примеры базиса:

-В пространстве VЗ геометрических векторов любая тройка некомпланарных векторов образует базис(любой вектор пространства-линейная комбинация трех некомпланарных векторов)

-Пространство арифметических векторов Rⁿ (элементы- упорядоченная последовательность действительных чисел длины n.Rⁿ ={( X_1, X₂…,X_n), x_iR I=1…n}):

е₁=(1,0,…,0), е₂=(0,1,…,0),…, е_n=(0,0,…,1)-базис(докажем:

-лнз: _ е₁+₂ е₂+…+_n е_n=0  _ +₂ +…+_n=0 лнз . -полнота :(х₁,х₂,…,х_n)=( х₁,0,…,0)+( 0,х₂,…,0)+..+( 0,0,…,х_n)=х_ е₁+х₂ е₂+…+х_n е_n .

-пространство многочленов степени не выше n:

Рⁿ ={а₀+а₁х¹+…+а_nXⁿ)

(е₀=1,е₂=х, … , е_n=xⁿ)-ест. базис пр-ва многочленов.

-л.н.з.:проверяем дифференцированием

-полнота:( а₀+а₁х¹+…+а_nXⁿ)= а₀е₀(х)+а₁ е₁(х)+…+а_n е_n(х)

-пространство матриц (m*n): m*n-матриц ,в каждой - одна единица -остальные-нули - естественный базис пр-ва матриц.

---------------------------------------------------------------------------------

3. Линейное подпространство. Понятие линейного подпрост-ранства. Базис и размерность линейного подпространства. Дополнение базиса п/п до базиса всего пространства. Примеры.

Линейное подпространство - некоторое непустое подмножество M линейного пространства L если для любых элементов x и y  L: 1) x , y  L  x + y  L

2) xL   xL

Примеры:

1. Множество векторов на плоскости V₂ является линейным подпространством линейного пространства V_3.

2. Совокупность всех веществ. функций, непрерывных на интервале (-а,а) и обращающихся в нуль при t=0, образует линейное подпространство линейного подпространства С(-а,а).

Линейной оболочкой S(X) подмножества М линейного пространства называется совокупность всевозможных линейных комбинаций элементов из М.

Свойства оболочки:

-образует линейное подпространство в линейном пространстве L _----------- -минимальное линейное подпространство содержащее систему S.

Базис п/п - линейно независимая система векторов, такая , что любой вектор, принадлежащий этому пространству, может быть выражен в виде линейной комбинации векторов этой системы.

Размерностью линейного пространства называется число элементов в любом из базисов этого пространства.

Теорема:ЕСЛИ L- n-мерное л.п., М - m-мерное п/п пр-ва L. Тогда:

1. m  n

2. Если m=n  M=L

3. m<n  Любой базис подпространства М можно дополнить до базиса всего пространства L.

Док-во:

1) Пусть S = {e₁, …, e_n}  S – л.н.з. Значит m  n (по теор. о соотношении векторов в л.н.з. и полных системах).

2) Если m = n  S – л.н.з. из (n) векторов в n-мерном лин. пр-ве  S образует базис лин. пр-ва L  <S> = L, но по условию <S> = M  M=L.

3) m < n. Рассмотрим базис подпр-ва M. Сисьема S – л.н.з., но не полна в L, т.к. в L любая полная система содержит не менее (n) векторов   e_m+1, не явл. линейной комбинацией векторов системы S. Добавим его в S₁ = {e1, …, e_m, e_m+1} – л.н.з по свойству л.н.з. систем. Если m+1 = n, то мы получим базис про-ва L, если m+1 < n, то снова добавим к системеме вектор e_m+2 и т.д. до тех пор пока мы не получим л.н.з. систему из (n) векторов. В пр-ве размерности (n) такая система образует базис.

ч.т.д.

ПРИМЕРЫ:

Рассмотрим систему многочленов в Р³ :

Преобразованием матрицы заметим, что ранг системы равен 2.

Дополнение-т.к. rang(Р³)=4-добавим 2 вектора в матрицу чтобы ∆.