107. Эффективность и состоятельность оценок параметров.(25)

Для того, чтобы говорить о состоятельности и эффективности оценок параметров, необходимо сначала сказать об их свойстве несмещенности.

Несмещенная оценка – оценка параметров законов распределения, математическое ожидание которой (среднее значение) совпадает со значением параметра.

E( )=a

Эффективная оценка – оценка параметра, которая среди всех несмещенных имеет минимальную дисперсию, т.е. та процедура, которая дает минимальный разброс значений оценки.

Состоятельная оценка – (оценка обладающая свойством состоятельности) – оценка со свойством несмещенности при больших объемах выборки (количестве наблюдений).

108. Алгоритм применения критерия Стъюдента для оценки статистических гипотез. (25)

Статистическая гипотеза – любое предположение относительно либо вида закона распределения случайно величины, либо относительно значения параметров закона распределения. При проверке статистических гипотез, связанных с анализом эконометрической модели, как правило, создаются искусственные переменные, одной из которых является дробь Стьюдента.

Дробь Стьюдента: t=

– стандартная ошибка отклонения оценки

– МНК оценка параметра

a – значение, на равенство которого тестируется параметр

Дробь Стьюдента в схеме Гаусса – Маркова имеет закон распределения Стьюдента с параметром n-k-1.

Критическое значение дроби Стьюдента находится из уравнения:

) = P( )=

или двусторонний квантиль распределения Стьюдента

Пример.

Рассмотрим, влияют или нет регрессоры на формирование эндогенной переменной в спецификации линейной модели множественной регрессии, проверив гипотезу о равенстве 0 параметра при нем с помощью дроби Стьюдента.

t= откуда следует, что = .

При заданной доверительной вероятности можно найти критической значение данной гипотезы.

- откуда следует, что регрессор не влияет, и параметр Данную проверку называют точечной оценкой значимости коэффициентов регрессоров.

Также на практике существует интервальный метод оценки значимости регрессоров с помощью дроби Стьюдента. Опять решаем относительно ;

Для данного параметра существует доверительный интервал:

Или , если записать по другому:

Если доверительный интервал накрывает истинное значение параметра, то выдвинутая статистическая гипотеза выполняется

, в противном случае выдвигается альтернативная гипотеза.

109. Алгоритм проверки статистической гипотезы. (25)

Порядок действий для проверки статистической гипотезы:

Шаг 1.

формулируется основная статистическая гипотеза (описательный этап, формализованная запись)

Шаг 2.

создается случайная переменная z, связанная с выдвинутой гипотезой и с известным законом распределения (t), т.к. у случайной переменной, которая содержится в сформулированной основной гипотезе закон распределения может быть неизвестен (т.е. ничего нельзя сказать о ее поведении). Как правило, используются две переменные: дробь Стьюдента и дробь Фишера.

Шаг 3.

создается значение доверительной вероятности

Доверит. вероятность – область определения, созданная случайной переменной z. Данная область разбивается на две пересекаемые подобласти:

1) где гипотеза принимается z( )

2) где гипотеза отклоняется (не принимается), а принимается : z( )

Разбиение области определения осуществляется так, чтобы оказалось справедливые следующее равенство:

P(z( ) ) = - это означает, что вероятность попадания случайной переменной z в область z( ) , при условии z( ) – истина, равна принятой доверительной вероятности (т.е. в области определения переменной z выделяется участок, внутри которого случайное событие окажется практически достоверным, при условии, что гипотеза - истина.

Граница, разделяющая область определения случайной переменной z – критическое значение распределения ( )

Шаг 4.

проверяется появление случайного события z, принадлежащего z( )

а) если событие появилось, то гипотеза принимается как непротиворечащая опытным (т.е. статистическим данным);

Гипотеза принимается в качестве истины с доверительной вероятностью (0,95)

– уровень значимости;

б) если событие не появилось, то гипотеза отклоняется.

Случайную переменную z называют статистикой критерия гипотезы