95. Качество спецификации модели. Проверка статистической гипотезы.

Основным инструментом оценивания параметров линейной модели множественной регрессии является процедуры и условия, сформулированные в теореме Гаусса-Маркова.

Однако недостаточно только вычислить значения оценок, входящих в модель параметров, но необходимо также подтвердить качество модели в целом (анализ полученных результатов).

В основе анализа результатов лежит методика проверки статистических гипотез.

Статистическая гипотеза – любое предположение H₀ относительно вида закона распределения случайной величины или относительно значения параметров закона распределения. Наряду с основной гипотезой могут быть выдвинуты альтернативные гипотезы. Закон распределения случайной величины в ситуации, когда гипотеза H₀ истинна, обозначается

Проверка статистических гипотез является одной из основных задач математической статистики. Объективной основой проверки истинности (ложности) статистической гипотезы может служить только значение случайной переменной в результате наблюдения.

Порядок действий при проверке статистических гипотез можно представить в виде следующего алгоритма:

1. Формулируется основная статистическая гипотеза

2. Создается случайная переменная z, связанная с выдвинутой гипотезой и известным законом распределения Pz(t)

Закон распределения случайной переменной, которая содержится в основной гипотезе, может быть не известен, следовательно, ничего нельзя сказать о ее поведении. Поэтому создается случайная переменная, о поведении которой можно судить по ее закону распределения.

3. Принимается значение доверительной вероятности . Р_довер. – область определения созданной случайной переменной z, которая разбивается на 2 непересекающиеся подобласти:

• подобласть, где гипотеза H₀ принимается z(H₀)

• подобласть, где гипотеза H₀ отклоняется z(H₁)

Разбиение области определения осуществляется таким образом, чтобы оказалось справедливым равенство:

Это означает, что вероятность попадания случайной переменной z в область при условии, что H₀ – истина, равна принятой доверительной вероятности, то есть в области определения случайной переменной z выделяется участок, внутри которого случайное событие окажется практически достоверным, при истинной гипотезе H_{0 .}

Граница, разделяющая область определения случайной переменной z, называется критическим значением распределения.

Соответственно, если случайное событие появилось, то гипотеза H₀ принимается как непротиворечащая опытным данным; если же случайное событие не появилось, то статистическая гипотеза H₀ отвергается в пользу альтернативной гипотезы H₁ как противоречащая опытным данным.

Следует заметить, что данный алгоритм проверки статистических гипотез допускает возникновение ошибок, то есть неверных выводов относительно тестируемых гипотез. Действительно, гипотеза H₀ принимается в качестве истины с доверительной вероятностью .

96. Гетероскедостичность и ее последствия.

Гетероскедастичность - ситуация, когда дисперсия ошибки в уравнении регрессии изменяется от наблюдения к наблюдению. В этом случае приходится подвергать определенной модификации МНК (иначе возможны ошибочные выводы). Для обнаружения гетероскедастичности обычно используют 3 теста: тест ранговой корреляции Спирмена, тест Голдфеда - Квандта и тест Глейзера Доугерти.

Вторая предпосылка Гаусса-Маркова является условием гомоскедастичности (равенства дисперсий случайных возмущений): E (U | ) = σ². Если данная предпосылка не выполняется, то имеет место говорить о гетероскедастичности (непостоянстве дисперсий отклонений).

Случайное возмущение w_t называется гетероскедастичным, если математическое ожидание квадрата случайных возмущений при каждом фиксированном значении предопределенной переменной зависит от нее (является функцией от нее).

Нарушение 2 предпосылки теоремы Гаусса-Маркова влечет следующие негативные для МНК-оценок параметров модели последствия (последствия гетероскедастичности случайных возмущений):

1. оценки коэффициентов утрачивают свойство наименьшей дисперсии, оставаясь при этом несмещенными, как правило, оценки завышены

2. стандартные ошибки оценок коэффициентов перестают объективно отражать точность этих оценок

3. оценка параметра σ² утрачивает отчетливый смысл.

Таким образом, это может привести к некорректности результатов тестирования значимости параметров линейной модели. t_j=

Вполне вероятно, что стандартные ошибки будут завышены, а, следовательно, t-статистика — занижена, будет получено неправильное представление о точности оценки уравнения регрессии.

При этом возможна ситуация, что причиной приятия гипотезы: H₀: a_j=0 является заниженное значение ошибки параметра, а не его статистическая значимость.

Одним из тестов на присутствие гетероскедастичности является тест Гольфельда-Квандта. В основе идеи данного теста лежит предположение о том, что гетероскедастичность – результат зависимости дисперсий случайных возмущений от абсолютных значений регрессора.

97. Методика проверки статистических гипотез.

Статистическая гипотеза – любое предположение H₀ относительно вида закона распределения случайной величины или относительно значения параметров закона распределения. Наряду с основной гипотезой могут быть выдвинуты альтернативные гипотезы. Закон распределения случайной величины в ситуации, когда гипотеза H₀ истинна, обозначается

Проверка статистических гипотез является одной из основных задач математической статистики. Объективной основой проверки истинности (ложности) статистической гипотезы может служить только значение случайной переменной в результате наблюдения.