93. Алгоритм оценки коэффициентов в модели Самуэльсона-Хикса.

Рассмотрим эконометрическую инвестиционную модель Самуэльсона-Хикса.

I_t=b ΔY_t-1+V_t

E(V_t| Y_t-1, Y_t-2) =0

E( | Y_t-1, Y_t-2) =

b > 0

Оценка параметров по конкретным значениям переменных: ,

1)Наи­лучшая оценка акселератора инвестиций b вычисляется в процессе решения линейного уравнения: R *  = S,

 = R^-1*S (*)

R = ² = Δ + Δ + Δ

S = * ΔY_{t-1 =} I₂ ΔY₁+I₃ ΔY₁+ …+ I_n ΔY_n-1

Значение , вычисленное по правилу (*) соответствует принципу настройки модели МНК.

*ΔY_t-1)^{2 →} min

2) В свою очередь, оценка   среднего квадратического отклоне­ния (СКО) определяется по правилу:

V_t = I_t –  * ΔY_t-1 - это оценка случайного возмущения v_t в период t. Величина m в знаменателе формулы — это количество пар (I_t , ΔY_t-i)зна­чений переменных модели, по которым вычисляются оценки   ,  ее неизвестных параметров. Наконец, вычитаемое (еди­ница) в знаменателе формулы— это количество оцениваемых коэффициентов в функции регрессии модели.

Разница между фактическим и прогнозным значением не должна превышать СКО ( . Если разница < СКО, то модель адекватная, если разница < CКО, то необходимо добавить др.факторы.

Таким образом, алгоритм можно сформулировать так:

1. Строится спецификация модели, 4 эндогенных переменных- 4 уравнения в системе. В соответствии с условиями задачи задаем область определения для параметров.

2. Сбор статистической информации об объекте оригнале в виде конкретных значений экзоегенных и эндогенных переменных.

3. Оценивание параметров модели по конкретным значениям ее переменных. Проверяем, имеет ли место, приведенное выше тождество = const. Если тождество не выполняется, то на переменную оказывают влияние какие-то факторы, не отраженные в модели, что дает основание интерпретировать влияние неидентифицированных факторов как случайное. Необходимо учесть данной обстоятельство в спецификации:

4. Проверка адекватности оцененной модели.

94(73). Метод наименьших квадратов, алгоритм метода, условия применения.25

Одним из методов, позволяющим получить состоятельные оценки, является метод наименьших квадратов (МНК).

Предпосылки теоремы Гаусса-Маркова:

-математическое ожидание случайного возмущения при фиксированном значении предопределенной переменной равно 0

-дисперсия случайных возмущений во всех наблюдениях одинакова и равна константе

-ковариация между парами случайных возмущений =0

-ковариация между вектором регрессоров и вектором случайных возмущений =0

Был разработан Гауссом. В качестве критерия – сумма квадратов остатков (невязок), то есть разность между абсциссами реальных точек, имеющих нормальное распределение, и соответствующих точек на прямой.

Данный метод получил название регрессионного анализа.

Рассмотрим механизм применения МНК на примере идентификации модели в виде линейного уравнения парной регрессии. + + ,где - эндогенная

– экзогенная

- параметры

Для решения задачи имеем некий набор наблюдений переменных У и Х размерности n.

Согласно МНК необходимо найти такие значения параметров оценки модели (5.8), которые соответствуют минимуму квадратов остатков.

Тогда из 5.8 следует, что необходимо найти минимум следующей функции:

Q = = - - ->min (5.9)

Для нахождения параметров функции 5.9, соответствующих ее минимуму, необходимо вычислить производную этой функции по параметрам и решить полученные уравнения относительно .

5.11 – система нормальных уравнений для определения параметров оценок модели 5.8

Убедимся, что решение системы 5.11 соответствует минимуму функции 5.9. Для этого необходимо, чтобы вторые частные производные функции 5.9 были положительными.

Вторая производная относительно а0 = n,что всегда больше 0.

Вторая производная относительно а1 = , что также всегда больше 0.

Это говорит о том, что система уравнений 5.11 соответствует минимуму функции 5.9

Систему уравнений 5.11 можно решить методом исключения переменных. Для этого достаточно выразить а0 через а1, подставив его во 2 уравнение системы, откуда получим а1, затем полученную а1 подставим в а0. В итоге получим 5.12

Выражение 5.12 позволяет по известным значениям наблюдений переменных Х и У вычислить оценки параметров модели парной регрессии.