86. Коэффициент детерминации в множественной регрессионной модели.

Коэффициент детерминации (R²)— это доля дисперсии отклонений зависимой переменной от её среднего значения, объясняемая рассматриваемой моделью связи. Модель связи обычно задается как явная функция от объясняющих переменных. Общая формула для вычисления коэффициента детерминации:

где y_i — наблюдаемое значение зависимой переменной, а f_i — значение зависимой переменной предсказанное по уравнению регрессии -среднее арифметическое зависимой переменной.

Коэффициент детерминации является случайной переменной.

, ,

TSS(total sum of squares)=ESS(errors sum of squares)+RSS(regression sum of squares)

R²=1-ESS/TSS=RSS/TSS (если выполняется предыдущее равенство) 0≤R²≤1

Если R²=0, то модель называется абсолютно плохой, это значит, что регрессия ничего не дает, т.е. х не улучшает качество предсказаний по сравнению с тривиальным предсказанием

Если R²=1, то модель называется абсолютно хорошей, это означает точную подгонку, все точки наблюдений лежат на регрессионной прямой. Выбранный регрессор полностью объясняет поведение эндогенной переменной.

Чем ближе к 1 значение R², тем лучше качество подгонки.

87(3). Структурная и приведенная формы спецификации эконометрических моделей.(23)

Модель, возникающая на этапе спецификации, как правило, имеет структурную форму, отражающую заложенные в модель экономические утверждения. В такой форме эндогенные переменные модели, как правило, не выражены явно через ее экзогенные переменные. При помощи алгебраических преобразований модель от структурной формы может быть трансформирована к приведенной форме, где каждая эндогенная переменная представляется в виде явной функции только экзогенных переменных модели. Приведенная форма модели непосредственно предназначена для прогноза (объяснения) эндогенных переменных при помощи экзогенных переменных. В частном случае структурная форма модели может совпадать с приведенной формой.

Переход от структурной к приведенной форме возможен всегда и однозначно, а обратное неверно.

Приведенная форма.

Структурная форма.

88. Спецификация эконометрических моделей и оценивание параметров мнк.(23)

- экзогенные переменные

y – эндогенная переменная

, , , - параметры

Эконометрическая инвестиционная модель Самуэльсона-Хикса является частным случаем модели (5.1). Она является моделью парной регрессии, т.к. имеет 2 переменных (а именно: эндогенную и предопределённую )

Далеко не всегда удаётся подобрать процедуру, обеспечивающую получение несмещённых и эффективных оценок при большом объёме выборки.

(Напоминаю: оценка параметров закона распределения называется несмещённой, если её математическое ожидание совпадает со значением параметра: ; эффективной среди всех несмещённых оценок называется та, которая имеет минимальную дисперсию (σ→min)(выбирается та процедура, которая даёт минимальный разброс значения оценки)).

Поэтому вводится понятие асимптотически несмещённых и асимптотически эффективных оценок, для которых свойства несмещённости и эффективности достигаются при неограниченном увеличении объёма выборки. Однако и такие оценки получаются не всегда. Удовлетворительными будут оценки, обладающие свойством несмещённости при больших объёмах выборки. Такие оценки называются состоятельными.

Одним из методов, позволяющих получить состоятельные оценки, является метод наименьших квадратов (МНК) (определён К.Ф. Гауссом (1777-1855))

В качестве критериев используется ∑ квадратов невязок (остатков), разности между абсциссами реальных точек и соответствующих точек на прямой.

Решение данных задач получило название регрессионного анализа

Рассмотрим механизм применения МНК на основе применения идентификации модели в виде линейной модели парной регрессии.

(5.8)

Для решения задач имеем некий набор наблюдений переменных y и x размерностью n.

Согласно МНК, необходимо найти такие значения параметров оценки модели (5.8), которые соответствуют минимуму суммы квадратов остатка.

- переменные

, , – параметры

Из (5.8) следует, что необходимо найти минимум следующей функции (Q):

= (5.9)

Для нахождения параметров функции (5.9), соответствующих её минимуму, необходимо вычислить производную функции по этим параметрам, приравнять к нулю и решить полученное уравнение относительно параметров.

(5.11) - Система нормальных уравнений для определения оценок параметров модели (5.8).

Убедимся, что решения системы уравнения (5.11) соответствуют линейному уравнению (5.9). Для этого вторые производные функции (5.9) должны быть положительными

Следовательно, решение системы (5.11) соответствует минимуму функции (5.9).

Систему уравнений (5.11) можно решить методом исключения переменных. Для этого достаточно выразить параметр через , подставив его во второе уравнение системы, откуда получен , затем уже подставить в первое уравнение.

В итоге:

Выражение (5.12) позволяет по известным значениям наблюдений переменных x и y вычислить оценки параметров модели парной регрессии.