83( 36).(79). Алгоритм теста Дарбина-Уотсона на наличие (отсутствие) автокорреляции случайных возмущений. (27).

Гипотеза (1):

Шаг 1. По уравнениям наблюдений объекта следует вычислить МНК-оценки и оценки случайных остатков.

Шаг 2. Вычислить величину

Шаг 3. Из таблицы, составленной Дарбиным и Уотсоном, по количеству n уравнений наблюдений и количеству k объясняющих переменных следует выбрать две величины

Шаг 4. Проверить, в какое из пяти подмножеств интервала (0,4) попала величина DW. Сделать вывод о присутствии/отсутствии автокорреляции.

(на рисунке значение слева напрво: 0, Dl, Du, 4-Du, 4-Dl, 4)

Если попало в -, то автокорреляция присутствует

Если попало в +, то автокорреляция отсутствует

Если попало в ///, то зона неопределенности.

84. Доверительный интервал индивидуального значения зависимой переменной в множественной регрессионной модели.(23) Для определения границ доверительного интервала для индивидуальных значений зависимой переменной, как и в случае парной регрессии, учитывается рассеяние индивидуальных значений вокруг линии регрессии. Для определения дисперсии истинной ошибкой прогноза определим элементы автоковариационной матрицы вектора ошибок:  C_ee=Cov{Y-Y͠ , Y-Y͠ }=Cov{Y,Y}+Cov {Y͠ ,Y͠ }-2Cov{Y͠ ,Y}=σ²I+σ²N-2Cov{Y͠ ,Y}, где I-единичная матрица, N – проектор. На интервале настройки модели Cov{Y͠ ,Y}=Cov{NY,Y}=σ²N, поэтому C_ee=σ²I+ σ²N-2σ²N= σ²(I-N)= σ²M. Для интервала прогнозирования введем следующие обозначения: Y_p͠ =( Y͠_n+1,…,Y͠_n+p)^T-вектор-столбец прогнозов; Y_p =( Y_n+1,…,Y_n+p)^T-вектор-столбец истинных значений эндогенной переменной на интервале прогнозирования; Y =( Y₁,…,Y_n)^T-вектор-столбец истинных значений эндогенной переменной на интервале настройки; ε_p=(ε_n+1,…,ε_n+p)^T-вектор-столбец возмущений на интервале прогнозирования; ε_p=(ε₁,…,ε_n)^T-вектор-столбец возмущений на интервале настройки; X-матрица регрессоров на интервале настройки; (X_n+1,1…..X_n+1,k) X_p=X_n+p,k=(…………….….) (X_n+p,1……X_n+p,k) -матрица регрессоров на интервале прогнозирования, n-объем выборки. Теперь вектор прогнозов можно представить в виде Y_p͠ =NY, где N=X_p(X^TX)^-1X^T, и Cov{Y͠_p ,Y_p}=0, в силу третьего условия Гаусса-Маркова, так как  Cov{Y͠_p,Y_p}=Сov{NY,Y_p}=N Сov{Y,Y_p}=NCov{ε,ε_p}=0. Таким образом, на интервале прогнозирования автоковариационная матрица ошибок принимает вид: C_ee= Cov{Y-Y͠ , Y-Y͠ }=σ²N+σ²I=σ²(I+N). Дисперсии элементов вектора e=Y-Y͠ расположены на главной диагонали автоковариационной матрицы, т.е. Var(e)=[σ²(I+N)]_dg, так, например, элементу t соответствует выражение оценки ско: S_et=s√(1+X_t(X^TX)^-1X_t^T). Границы доверительного интервала вычисляются по формуле: Y͠_t –t_крS_et, Y͠_t +t_крS_et. Процедура интервального прогнозирования значений эндогенной переменной используется для проверки адекватности оцененной модели. 

85. Причины и последствия автокорреляции случайного возмущения/

Автокорреляция – зависимость возмущений в различные моменты времени

Модель называется автокоррелированной, если не выполняется третья предпосылка теоремы Гаусса-Маркова: Cov(u_i,u_j)≠0 при i≠j

Автокорреляция чаще всего появляется в моделях временных рядов и моделировании циклических процессов

Причины:

• ошибки спецификации (пропуск важной объясняющей переменной, использование ошибочной функциональной зависимости между переменными и т.д.)

• ошибки измерений

• характер наблюдений (например, данные временных рядов)

Последствия автокорреляции

• оценки коэффициентов теряют эффективность;

• стандартные ошибки коэффициентов занижены

Признаки (по диаграммам рассеяния):

• чередование зон с повышенными и заниженными значениями по отношению к тренду (положительная автокорреляция)

• наблюдения действуют друг на друга по принципу «маятника» (отрицательная автокорреляция)

Есть положительная автокорреляция, где за положительным отклонением следует положительное, за отрицательным – отрицательное. Отрицательная автокорреляция - за положительным чаще всего следует отрицательное.

Т ипы автокорреляции. Модели с автокоррелированными остатками называются авторегрессионными. Рассматриваем модель парной регрессии,

Авторегрессия 1-го порядка: AR(1)

А вторегрессия 5-го порядка: AR(5)

Авторкорреляция скользящих средних 3-го порядка: