78.Теорема Гаусса-Маркова

Пусть матрица X уравнений наблюдений имеет размер , где , и обладает линейно-независимыми столбцами, а случайные возмущения удовлетворяют четырем условиям:

Тогда:

А) Наилучшая линейная процедура имеет вид:

Б) Эффективная линейная несмещенная оценка обладает свойством наименьших квадратов:

В) Ковариационная матрица оценки вычисляется по правилу

Г) Несмещенная оценка параметра модели находится по формуле

где n – число уравнений наблюдений, k+1 – количество неизвестных коэффициентов функции регрессии модели.

79. Алгоритм теста Дарбина-Уотсона на наличие (отсутствие) автокорреляции случайных возмущений. (27).

Гипотеза (1):

Шаг 1. По уравнениям наблюдений объекта следует вычислить МНК-оценки и оценки случайных остатков.

Шаг 2. Вычислить величину

Шаг 3. Из таблицы, составленной Дарбиным и Уотсоном, по количеству n уравнений наблюдений и количеству k объясняющих переменных следует выбрать две величины

Шаг 4. Проверить, в какое из пяти подмножеств интервала (0,4) попала величина DW. Сделать вывод о присутствии/отсутствии автокорреляции.

(на рисунке значение слева напрво: 0, Dl, Du, 4-Du, 4-Dl, 4)

Если попало в -, то автокорреляция присутствует

Если попало в +, то автокорреляция отсутствует

Если попало в ///, то зона неопределенности.

80. Статистические свойства оценок параметров множественной регрессионной модели

• несмещенность;

• состоятельность;

• эффективность.

Несмещенность оценки  означает, что при ее использовании мы не получаем систематической ошибки, и только при наличии этого свойства оценки могут иметь практическую значимость. Следовательно, при большом числе выборочных оцениваний остатки не будут накапливаться и найденный параметр можно рассматривать как среднее значение из возможно большого количества несмещенных оценок. Если оценки обладают свойством несмещенности, то их можно сравнивать по разным исследованиям.

Состоятельность оценки 

гарантирует приближение оценки к истинному значению (т.е. увеличение их точности) при увеличении объема выборки

Состоятельной называется такая оценка, которая дает истинное значение при достаточно большом объеме выборки вне зависимости от значений входящих в нее конкретных наблюдений. Состоятельность обычно рассматривается как самое важное свойство оценки (это минимальное требование, предъявляемое к любой оценке).

Эффективная оценка является наилучшей в смысле минимума среднеквадратичного отклонения. Оценки, полученные методом наименьших квадратов при выполнении всех необходимых предпосылок (гипотез), являются эффективными.

Несмещенность и эффективность – это свойства, не зависящие от объема выборки n, в то время как состоятельность является асимптотическим свойством при стремлении n к бесконечности.

Для определения качества оценок, полученных методом наименьших квадратов (МНК), необходимо учитывать статистические свойства имеющихся данных.

81. Порядок оценивания линейной эконометрической модели из изолированного уравнения в Excel. (25)

У нас построена линейная эконометрическая модель с изолированными уравнениями. x_1t; x_2t;…- экзогенные y_t– эндогенные t=1…n Порядок оценивания модели состоит в следующем:

1) В столбце А с первой строчки располагаются значения эндогенной переменной у. В столбцах В и С, начиная с первой строчки - значения экзогенных переменных соответсвенно х_1t и x_2t

2) Активировать ячейку с адресом А(n+1) и на стандартной панели инструментов щелкнуть мышью кнопку вставки функциию

3) В диалоговом окне «Категория» выбрать «статистические», в диалоговом окне «выберите функцию» - «линейн», нажать ОК.

4) В строчке «известные значения у» диалогового окная указать (латиницей) адрес А1:Аn диапазона значений эндогенной переменной yt, а в строчке «известные значения х» - адрес В1:Сn диапазона известных значений предопределенных переменных х1 и х2.

5) В строчку «конст» диалогового окна занести (кириллицей) слово «истина» или цифру 1. (если в эту строчку занести слово «ложь» или цифру 0, то параметр а0 получит значение 0»

6) в строчку «статистика» занести слово «истина» или цифру 1, нажать ОК.

7) выделить мышью диапазон ячеек А(n+1):C(n+5).

8) щелкнуть мышью по строке формул

9) Нажать клавиши Ctrl+Shift+Enter.

В итоге в выделенном диапазоне ячеек появятся результаты оценивания модели.

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Значение коэффициента а2	Значение коэффициента а1	Значение коэффициента a0
Среднеквадратич. отклонение а2	Среднеквадратич. отклонение а1	Среднеквадратич. отклонение a0
Коэффициент детерминации R2	Среднеквадратич. отклонение у	Н/Д
F-статистика	Число степеней свободы	Н/Д
Регрессионная сумма квадратов	Остаточная сумма квадратов	Н/Д

82. Алгоритм проверки значимости регрессоров в множественной регрессионной модели. (25) формируем t-статистику, используя вспомогательные случайные величины: 1) V=∑e_t^2/σ^2=(e^Te)/ σ^2, где ^ E=MY=M(Xβ+ɛ)=MXβ+Mɛ= Mɛ, Поэтому V=(e^Te)/ σ^2=(ɛ/ σ)^T*M( ɛ/ σ) Симметричную матрицу можно представить в виде M=O^T*Λ*O, где O-ортогональная матрица, Λ- диагональная матрица. Если X-собственный вектор идемпотентной матрицы M, а λ-соответствующее собственное значение, то по определению собственного вектора и свойства идемпотентности: λX=MX=MMX=MλX=λMX=λ²*X, или (λ-λ²)X=0, λ(1-λ)=0 Тогда статистику V можно представить следующим образом: V=(e^t*e)/σ^2=(ε/σ)^T*O^T*Λ*O(ε/σ)=(O* ε/σ)^T*Λ*(O*ε/σ)=S^T* Λ*S, где S – стандартный гауссовский вектор. Отсюда следует, что V представляет сумму квадратов независимых нормальных случайных величин и число слагаемых равно рангу матрицы M. Таким образом, случайная величина V имеет распределение χ²(r), где r=rank(M), т.е.V=∑e_t^2/ σ^2=(e^T*e)/ σ^2 ̴ χ^2*(n-k) 2. Вторая вспомогательная статистика – стандартная нормальная случайная величина, обозначим ее Z_βj: Z_βj=(β_j-β ^͠_j )/ σ _{β ͠j} ̴ N(0,1), j=1,…k, где β_jи β ^͠_j -j-е элементы векторов βи β ^͠ соответственно. Тогда, по определению, t _βj=Z _βj/√(V/(n-k))=( β_j - β ^͠_j )/s _βj ̴ t(n-k), j=1,…k, т.е. представляют собой t-статистики с n-k степенями свободы и не зависят от неизвестных параметров σ² и σ ͠_βj . Здесь учтено, что (σ ͠_βj)/ σ²= s _βj ̴ /s. Задаваясь некоторым уровнем значимости α, по таблицам t-распределения можно определить критическое значение статистики t_кр и, применяя стандартную процедуру, построить доверительный интервал с границами β ^͠_j +/- t_кр s _βj ̴, где оценка s² _βj является j-м элементом вектора s² _β ̴ =[s²(X^TX)^-1]_dg. T-статистика используется для проверки статистической значимости оценок параметров множественной регрессии. При справедливости гипотезы H₀: β_j=0, вычисляется статистика вида: |t|=| β ^͠_j / s _βj ͠ | ̴ t(n-k), имеющая распределение Стьюдента ( n- объем выборки, k - числопараметров модели). Вычисленное значение сравнивается с критическим (выбранным из таблиц t-распределения по число степеней свободы (n-k) и уровню значимости α), и если |t|˃t_кр, гипотеза H₀: β_j=0 отвергается и коэффициент признается статистически значимым, в случае |t|˂/=t_кркоэффициент β ^͠_j признается статистически незначимым и регрессор X_j рекомендуется исключить из уравнения регрессии, так как он не оказывает существенного влияния на эндогенную переменную модели.

Алгоритм проверки значимости регрессора в парной регрессионной модели

При проверке качества спецификации парной регрессии наиболее важной является задача установления наличия линейной зависимости между эндогенной переменной и регрессором модели. С этой целью проверяют значимость оценки параметра b.

Алгоритм проверки значимости параметра b выполняется в следующей последовательности:

1) оценка параметров парной регрессии

2) оценка дисперсии возмущений

3) оценка среднего квадратичного отклонения параметра b

4) выбор значения tкр (по заданному уровню значимости альфа и числу степеней свободы (n-2) из таблиц распределения Стьюдента)

5) проверка неравенства при Н0: b=0

Если данное неравенство выполняется, то регрессор признается незначимым, если не выполняется, то данная гипотеза отвергается и регрессор признается значимым, т.е. между эндогенной переменной и регрессором присутствует линейная зависимость.