75. Коэффициент детерминации в парной регрессионной модели. 22
В качестве меры влияния регрессора на формирование значения эндогенной переменной в парной регрессионной модели вводится коэффициент детерминации = , где RSS – регрессионная сумма квадратов, TSS – общая сумма квадратов, ESS – ошибка. Коэффициент детерминации равен доле эмпирической дисперсии переменной у, которая в рамках обучающей выборки объясняется ее регрессором х.
0<= <=1. Если RSS=TSS, ESS=0, следовательно, на эндогенную переменную влияют только регрессоры (идеальная ситуация). Если ESS =TSS, RSS =0, следовательно, на эндогенную переменную влияют только случайные возмущения.
показывает, какая доля изменения зависимой переменной обусловлена изменением объясняющей переменной. Коэффициент детерминации показывает процент влияния регрессора на эндогенную переменную.
Замечания:
имеет смысл только
при наличии свободного коэффициента
В случае парной линейной регрессии
(x,y) = квадрату
коэффициента корреляции между переменными
х и у.
76. Fтест качества спецификации парной регрессионной модели. 28
В качестве меры влияния регрессора на формирование значения эндогенной переменной в парной регрессионной модели вводится коэффициент детерминации .
- величина случайная, так как его значение вычисляется по случайной выборке, следовательно, для тестирования гипотезы о том, что выбранный регрессор не оказывает влияние на формирование значения эндогенной переменной, необходимо создать случайную переменную, закон распределения которой нам известен.
Если
известен
то
в качестве такой переменной используется
Fтест =
Чтобы проверить качество спецификации Fтест сравнивается с Fкритическое. Для подсчета Fкритическое в Excel используется FРАСПОБР, нужно знать уровень значимости
α=1-Рдоверит = 1-0,95=0,05 и 2 степени свободы k и n-k-1.
Если Fтест <= Fкритическое, то принимается гипотеза о том, что регрессор х не влияет на формирование эндогенной переменной.
Если Fтест>= Fкритическое, то принимается альтернативная гипотеза о том, что регрессор существенно влияет на формирование величины у.
77. Оценка параметров множественной регрессионной модели методом наименьших квадратов. 25
Эконометрическая модель оперирует со случайными переменными. Это приводит к тому, что наличие случайных переменных в правой части влияет на левую (левая часть приобретает случайный характер).
Т.к. случайная величина характеризуется присущим ей законом распределения (для непрерывных случайных величин - это функция монотонности), закон распределения случайных величин содержит параметры.
III этап – это их (параметров) оценка (приближённое вычисление)
Рассматриваем эконометрическую модель в виде изолированного уравнения:
Спецификация (5.1) содержит k экзогенных переменных (регрессоров), тогда значение случайного возмущения:
Параметры любого закона распределения и его количественные характеристики – это const, но оценки этих параметров и их количественных характеристик есть величины случайные
К оценкам параметров предъявляется 2 основных требования:
несмещённость
эффективность
Оценка параметров закона распределения называется несмещённой, если её математическое ожидание совпадает со значением параметра:
На практике можно предложить множество процедур расчёта несмещённых оценок параметров.
Пример:
Пусть рассматривается некоторая случайная переменная величина x c известным законом распределения. Необходимо подобрать процедуру среднего значения этой величины.
Есть выборка из двух наблюдений Х :
Для элемента выборки должны выполняться условия:
1) все элементы выборки независимые случайные величины
2) все элементы выборки имеют одинаковый закон распределения, совпадающий с законом распределения самой случайной величины
Известно,
что
Найдём альтернативные процедуры, которые также помогут получить несмещённые оценки среднего значения.
Пусть такая процедура выглядит
Математическое ожидание такой оценки с учётом статистических свойств выборки равно:
Отсюда
видно, что математические ожидания
случайной величины х и z
(среднее значение), полученное по формулам
(5.4) и (5.6), будут совпадать, когда
Мы получим бесконечно количество процедур, которое обеспечивает несмещённые оценки среднего значения
Наилучшую процедуру оценки показывает минимальная дисперсия оценки.
Эффективной среди всех несмещённых оценок называется та, которая имеет минимальную дисперсию (σ→min)(выбирается та процедура, которая даёт минимальный разброс значения оценки).
Найдём,
при каких значениях
дисперсия выражения (5.5) будет минимальной
Нахождения минимума функции W приравняем к нулю производную
⇒
⇒
