52.Коэффициент детерминации в регрессионной модели.

Коэффициент детерминации (R²)— это доля дисперсии отклонений зависимой переменной от её среднего значения, объясняемая рассматриваемой моделью связи. Модель связи обычно задается как явная функция от объясняющих переменных.

Коэффициент детерминации показывает, какая доля изменения зависимой переменной обусловлена изменением объясняющей переменной, т.е. он используется в качестве меры влияния регрессора на формирование значения эндогенной переменной. Коэффициент детерминации используется при расчете Fтест.

где y_i — наблюдаемое значение зависимой переменной, а f_i — значение зависимой переменной предсказанное по уравнению регрессии -среднее арифметическое зависимой переменной. Коэффициент детерминации является случайной переменной. Он характеризует долю результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака: 0≤ R²≤1. причем если R²= 1 то переменная y_t полностью объясняется регрессором x_t. В множественной регрессионной модели добавление дополнительных регрессоров увеличивает значение коэффициента детерминации, поэтому его корректируют с учетом числа независимых переменных:

53. F-тест качества спецификации множественной регрессионной модели.(20)

Статистикой обсуждаемого ниже критерия гипотезы H₀: R²=0 (гипотеза о том что модель абсолютно плохая) против альтернативы H₁: служит случайная переменная:

(1)

Если Fтест ≤ Fкрит., то спецификация некачественная

Fтест > Fкрит., то спецификация качественная.

Здесь k — количество регрессоров в модели множественной регрессии, п — объ­ем обучающей выборки (у, X), по которой оценена МНК-модель. В ситуации, когда гипотеза H₀ справедлива, а слу­чайный остаток и в модели обладает нормальным законом распределения, случайная переменная F_тест имеет распределение Фишера с количествами степеней сво­боды ν₁ и ν₂, где ν₁=k и ν₂=n-(k+1) (2)

Данное утверждение положено в основу F-теста. Вот этапы выполнения этой процедуры.

1) вычислить величину (1);

2) задаться уровнем значимости а € (0, 0,05] и при помощи функции FPACПOБP Excel при количествах степеней свободы (2) отыскать (1-α)-квантиль распределения Фишера F_крит

3) проверить справедливость неравенства F<F_крит (3)

Если оно справедливо, то принять гипотезу H₀ и сделать вывод о неудовлетворительном качестве регрессии, т.е. об отсутствии какой-либо объясняющей способности регрессоров в рамках линейной модели.

Напротив, когда неравенство (3) несправедливо —следует от­клонить гипотезу H₀ в пользу альтернативы H₁. Другими словами, сделать вывод о том, что качество регрессии удовлетвори­тельно, т.е. регрессоры в рамках линейной модели обладают способностью объяснять значения эндогенной переменной у.

54. Процедура интервального прогнозирования по оценённой линейной эконометрической модели значений эндогенной переменной и проверка адекватности оценённой модели.(30)

Рассмотрим эконометрическую инвестиционную модель Самуэльсона-Хикса, в которой величина инвестиций в текущем году прямо пропорциональна приросту ВВП за предшествующий год.

Требуется построить эконометрическую модель Самуэльсона-Хикса для экономики США, т.е. оценить (приближённо вычислить) параметры и проверить адекватность модели

I. (4.1)

Оценка параметров по конкретным значениям переменных.

Оценка акселератора инвестиций находится в процессе решения следующего линейного уравнения:

(Акселератор - отношение прироста инвестиций к вызвавшему его относительному приросту дохода, потребительского спроса или готовой продукции )

; ⇒ (*) – нормальное уравнение,

где

(**)

Значение, вычисленное по правилу (*) соответствует принципу настройки модели – МНК (метод наименьших квадратов)

Оценка СКО (среднеквадратического отклонения) ( )

(***)

В нем – это оценка случайного возмущения в период t. величина m – это количество пар значений переменных модели, по которым вычисляются оценки ее неизвестных параметров.1 – в данном случае – количество параметров оцениваемых в функции.

Далее определяем ∆Y1, ∆Y2, ∆Y3 … и соответствующие им I2, I3, I4 … -это данные , которые образовывают обучающую выборку. Пара ( в данном случае) ∆Y4, I5 – это контрольная выборка, которую будем использовать для проверки адекватности оцененной модели.

Потом находим и затем (если , например, равна 3,71, то это означает, что на 1 $ прироста приходится инвестиций на 3,71 $)

Вычислим по правилу (***) оценку СКО случайных возмущений, но для этого сначала определим оценки значений случайных возмущений:

колеблется около нуля, меняя знак ⇒ проявляет себя как случайная переменная с нулевым средним. Подставим значения случайной переменной для расчёта (величина влияния на результирующий . Величина и коэффициент R позволяют вычислить стандартную ошибку оценки параметра b.

Этап оценки завершен.

Проверка адекватности: по оцененной ( настроенной или идентифицированной) модели следует осуществить прогноз величины It и сравнить его с реальным значением этой величины, которое не привлекалось на этапе настройки.

< ⇒ оценённая модель адекватна.