50(64).Регрессионные модели с переменной структурой (фиктивные переменные)

Построение регрессионных моделей с переменной структурой обуславливается необходимостью включения факторов, имеющих два или более качественных уровня. Для преобразования качественных значений факторов в количественные конструируются фиктивные (структурные) переменные. Введение таких переменных в регрессионную модель и делает ее структуру переменной, т.к. бинарный характер фиктивных переменных фактически влечет изменение структуры уравнения модели в зависимости от значений этих переменных. Количество фиктивных переменных должно быть на одну меньше возможных уровней качественного фактора.

Термин “фиктивные переменные” используется как противоположность “значащим” переменным, показывающим уровень количественного показателя, принимающего значения из непрерывного интервала. Как правило, фиктивная переменная — это индикаторная переменная, отражающая качественную характеристику. Чаще всего применяются бинарные фиктивные переменные, принимающие два значения, 0 и 1, в зависимости от определенного условия. Например, в результате опроса группы людей 0 может означать, что опрашиваемый - мужчина, а 1 - женщина.

Рассмотрим модель регрессии, характеризующую зависимость переменной размера заработной платы у от переменной стажа работников х с различным образованием. Качественная переменная «образование» может принимать три значения: среднее, среднее специальное и высшее. Для включения факторной переменной «образование» в модель регрессии, необходимо ввести две новых фиктивных переменных, потому что их количество должно быть на единицу меньше, чем значений качественной переменной.

Следовательно, качественная переменная «образование» может быть представлена в виде:

Модель регрессии, характеризующая зависимость переменной размера заработной платы у от переменной стажа работников х с различным образованием, примет вид: y=β0+β1x+β2D1+ β3D2.

Моделью регрессии без ограничений называется модель регрессии, в которую включены все фиктивные переменные. Базисной моделью или регрессией с ограничениями называется модель регрессии, в которой все значения фиктивных переменных равны нулю.

51. Система нормальных уравнений и явный вид её решения при оценивании методом наименьших квадратов линейной модели парной регрессии. (30)

Рассмотрим механизм применения МНК на примере модели линейной парной регрессии.

В результате оценивания данной эконометрической модели определяются оценки неизвестных коэффициентов. Метод наименьших квадратов позволяет получить такие оценки параметров a0 и a1, при которых сумма квадратов остатков минимальна:

Для нахождения параметров функции и определения минимума функции двух переменных вычисляются частные производные этой функции по каждому из оцениваемых параметров и приравниваются к нулю.

Если разделить обе части каждого уравнения системы на (-2), раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим систему нормальных уравнений для определения оценок параметров модели:

• Это система нормальных уравнений для определения оценок параметров модели.

Убедимся, что решение системы соответствует минимуму функции, для этого вторые производные должны быть равны нулю.

Что и требовалось доказать.

Далее, если решить систему нормальных уравнений, то мы получим искомые оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии a0 и a1:

Вывод: указанные выше выражения позволяют по известным значениям наблюдений переменных x и у вычислить оценки параметров модели парно регрессии.