40(28).Коэффициент корреляции и ковариации

(5.8)

(5.11) - Система нормальных уравнений для определения оценок параметров модели (5.8).

Систему уравнений (5.11) можно решить методом исключения переменных. Для этого достаточно выразить параметр через , подставив его во второе уравнение системы, откуда получен , затем уже подставить в первое уравнение.

В итоге:

Выражение (5.12) позволяет по известным значениям наблюдений переменных x и y вычислить оценки параметров модели парной регрессии.

Известно, что ковариация -

(5.13)

- числовая характеристика взаимосвязи пары случайных переменных x и y.

(взаимосвязь нефункциональная)

Дисперсия является частным случаем ковариации

Из (5.13) следует, что для вычисления ковариации нужно знать закон распределения случайных переменных x и y → P(x,y). Если он неизвестен, то ковариацию можно оценить по выборке из генеральной совокупности

XY, x , y

X = {

Y = { }

Оценкой ковариации служит величина выборочная:

в частном случае

С учётом (5.14), преобразовав (5.12) получим оценку параметра , т.е.

Преобразуем (5.15)

Таким образом, оценка параметра отличается от его [параметра ] истинного значения на величину отношения оценки ковариации регрессора и остатка к оценке дисперсии.

Отсюда видно, что, несмотря на то что случайное возмущение непосредственно не участвует в вычислении значения оценок параметра, оно существенно влияет на их [оценок параметров] качество, а именно, если случайное возмущение коррелирует с регрессором, то значение оценки становится смещённым. (Напоминаю: оценка параметров закона распределения называется несмещённой, если её математическое ожидание совпадает со значением параметра: .)

Корреля́ция (от лат. correlatio — соотношение, взаимосвязь), корреляционная зависимость — статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин

Коэфф-т корреляции

41. Преобразование к приведённой форме эконометрических моделей со случайными возмущениями (на примере модели делового цикла экономики). (27)

Рассмотрим спец-цию (паутинообразная)

С истема из уравнений :

=a0+a1pt+a2xt+Ut

=b0+b1*pt-1+Vt

=

a1<0, a2>0 b1>0

Xt+1\Xt >1 => возрастает, Xt+1\Xt <1 => уменьшается. Этот фактор как и многие другие в спецификации отсут-ют, т.е. неидентифицированы. Отсутсвие в спецификации модели пустьи второстепенных факторов не избавляет от влияния их на тек. эндогенные пер-ые модели => объективное существования факторов говорит о том что ур-ие специф-ции будет нарушено. Для того чтобы отразить влияние неучтенных факторов принято включать в поведенческие уравнения модели случайные переменные, значения которых рассеяны вокруг 0, их принято называть случ-ми возмущ илиостатками. Ut & Vt в данном случае случ-возмущ. Рассеянные вокруг 0 случ-ые перем-ые Ut , Vt отражают влияние на соответсвующие энд. перем-ые модели , , pt неучтенных,неидентых факторов, располож. в правой части 1го ур-ия лин фун-ции 2х перем-ых.

a0+a1pt+a2xt – функция регрессии (в явном виде) служит моделью экономического закона,согласно кот. меняется ур-нь српоса в ответ на изменение цены благаи дохода потребителя.

b0+b1*pt-1- ф-ция регрессии иявляется моделью эк.з-на согласно кот.изменяется предложение блага в ответ на изменение его лаговой цены.

Представим спецификацию в компактом виде (матричном)

матричный вид структурной формы любой динам. реересс модели, состоящей из одноврем.лин. урав-ий

- вектор случ.возм-ий. - вектор тек.энд. перем-ых, - вектор предопр. перем-ых.

Компактная запись привед. формы модели имеет вид- где М-матрица коэф-тов предопр-ых перем-ых в приведенной форме, - вектор случ-ых возмущ . в прив форме. = А^(-1)*

Запишем ур-ие спроса модели след.образом: Ut= - (a0+a1pt+a2xt), где (a0+a1pt+a2xt) функция регрессии, а pt и xt регрессоры. Ut зависит не только от неучтенных факторов но и от кол-ва регрессоров и от выбранной модели функции регрессии.

преобразование на примере делового цикла

Дано:

Ct= a0+a1 Yt-1 +Ut

It=b(Yt-1 –Yt-2)+Vt

Gt= gGt-1 +Wt

Yt=Ct+It+Gt

0<a1<1, b>0 , g>1

E(Ut| Yt-1)=0, E(Ut^2|Yt-1)=

E(Vt| Yt-1, Yt-2)=0, E(Vt^2|Yt-1, Yt-2)=

E(Wt|Gt-1)=0 , E(Wt^2| Gt-1)=

Ut,Vt,Wt-случ возмущ. Данная специф-ция эконометр. содели Сам-Хикса содержит 7 неизвестных параметров a0, a1,b,g, омега u , омега v, омега w. Случю возмущения включ-ся только в поведенческие ур-ия

ПРЕОБРАЗРВАЛИ ПУТЕМ ПОДСТАНОВКИ

Ct= a0+a1 Yt-1 +Ut

It=b(Yt-1 –Yt-2)+Vt

Gt= gGt-1 +Wt

Yt= a0+(a1+b)*Yt-1-bYt-2 + gGt-1+ (Ut+Vt+Wt)

0<a1<1, b>0 , g>1

это и есть прив форма данной модели.

а вектор =(Ut, Wt, Vt, Ut+Vt+Wt)т.

Данную матрицу М так же можно было вычислить по формуле М=- А^(-1)*В, где

В свою очередь вектор =(Ut, Wt, Vt, Ut+Vt+Wt)т. можно вычислить по формуле = А^(-1)* , где =(Ut,Vt,Wt,0)т- вектор случ возмущ. в струтктурной форме данной модели