Задание 7.

Фирма утверждает, что контролирует 40% регионального рынка. Проверить справедливость этого утверждения при α = 0,05, если услугами этой фирмы пользуются (100 + 10*k) = 160 человек из (300 + 10*k) = 360 опрошенных.

Решение:

Доля человек, пользующихся услугами фирмы

ω = 160 / 360 = 0.4

Средняя ошибка выборки для доли телезрителей рекламы с вероятностью 0,95

Значение определяем по таблице распределения Лапласа:

; t = 1.96

Таким образом, имеем

0,4 – 0,051 ≤ ω ≤ 0,4 + 0,051

0,349 ≤ ω ≤ 0,451

Средняя ошибка выборки для доли человек, пользующихся услугами фирмы, с вероятностью 0,95 находится в пределах от 0,349 до 0,451.

Значение доли 0,4 входит в полученный интервал. Таким образом, с доверительной вероятностью γ = 0,95 можно утверждать, что фирма контролирует 40% регионального рынка.

Задание 8.

Для сравнения существующего технологического процесса с новым по себестоимости продукции было изготовлено n_x = (5 + k) = 11 изделий по существующей технологии и получена средняя себестоимость продукции = (13 + k) = 18, S_x² = (1 + k) = 7. Для нового технологического процесса после изготовления n_y = (8 + k) = 14 изделий получили = (9 + k) = 15,

S_y² = (2 + k) = 8. Целесообразно ли при α = 0,05 вводить новую технологию?

Решение:

Исправленные дисперсии различны, поэтому проверим предварительно гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, используя критерий Фишера-Снедекора. Найдем отношение большей дисперсии к меньшей

Дисперсия S_y² существенно больше дисперсии S_x², поэтому в качестве конкурирующей примем гипотезу Н₁: D(Y) > D(X). В этом случае критическая область – правосторонняя. Для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы k₁ = n_y – 1 = 14 – 1 = 13 и k₂ = n_x – 1 = 11 – 1 =10 находим критическую точку

F_кр (0,05; 10; 13) =

Т.к. F_набл < F_кр, то нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Предположение о равенстве дисперсий выполняется, поэтому сравним средние. Вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента.

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид: M(X) ≠ M(Y), поэтому критическая область – двусторонняя. Для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы k = n_x + n_y – 2 = 11 + 14 – 2 = 23 находим критическую точку

t_кр (0,05; 23) =

Т.к. t_набл < t_кр, то нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве средних.

Таким образом, при α = 0,05 вводить новую технологию нецелесообразно, рассматриваемые технологии различаются незначимо.

Задание 9.

Из (200 + 10*k) = 260 задач по теории вероятностей студенты решили (110 + 10*k) = 170 задач, а из (300 + 20*k) = 420 задач по математической статистике они решили (140 + 30*k) = 320 задач. Можно ли при α = 0,05 утверждать, что оба раздела усвоены одинаково?

Решение:

Доля решенных задач по теории вероятностей

p₁ = 160 / 260 = 0.54

Доля решенных задач по математической статистике

p₂ = 260 / 420 = 0.62

Пусть генеральная вероятность усвоения предметов равна

p₀ = (0,54 + 0,62) / 2 = 0,58

q₀ = 1 – p₀ = 1 – 0.58 = 0.42

Сравним p₁ и p₀. Найдем наблюдаемое значение критерия.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид p₁ ≠ p₀, поэтому критическая область – двусторонняя. Найдем критическую точку из равенства

По таблице функции Лапласа находим

U_кр = 1,96

Т.к. , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, т.е. относительная частота p₁ незначимо отличается от гипотетической p₀.

Сравним p₂ и p₀. Найдем наблюдаемое значение критерия.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид p₂ ≠ p₀, поэтому критическая область – двусторонняя. Найдем критическую точку из равенства

По таблице функции Лапласа находим

U_кр = 1,96

Т.к. , нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, т.е. относительная частота p₂ незначимо отличается от гипотетической p₀.

Таким образом, относительные частоты успеваемости p₁ и p₂ незначимо отличаются от генеральной p₀. Значит, при уровне значимости α = 0,05 можно утверждать, что оба раздела усвоены одинаково с генеральной вероятностью 0,624.