8. Означення ф-й багатьох змінних.

 Позначимо через D деякий безліч точок в п-мірному просторі.  Якщо задано закон f , В силу якого кожній точці М (х   ;...; Х   )    D ставиться у відповідність число і, то говорять, що на безлічі D визначена функція і = f (х  ;...; Х   ).  Безліч точок М (х   ;...; Х   ), Для яких функція і = f (х   ;...; Х   ) Визначена, називають областю визначення цієї функції і позначають D (f).  Функції багатьох змінних можна позначати одним символом і = f (М), вказуючи розмірність простору, якому належить точка М.  Функції двох змінних можна зобразити графічно у вигляді деякої поверхні.  Графіком функції двох змінних z = f (х; у) у прямокутній системі координат Оху називається геометричне місце точок у тривимірному просторі, координати яких(х; у; z) задовольняють рівнянню z = f (х; у). 

На практиці досить часто функція y залежить не від однієї змінної x, а

від багатьох аргументів x1,…,xn.

Означення. Множина значень {x1,…,xn}, за яких вираз f(x1,…,xn) має

зміст, називається областю визначення функції від n змінних

y = f(x1,…,xn).

Приклади.

1. Функція від двох змінних z=3x+5xy+y2. Область визначення цієї

функції - всі пари дійсних чисел (x;y).

2. Функція від чотирьох змінних y=2x1+3x2-x3+7x4.

3. Функція від трьох змінних V=V(a,b,c)=a(b(c. Об’єм паралелепіпеда є

функцією від довжин його сторін.

4. Функція від двох змінних Q=F(K,L). Обсяг випущеної продукції Q є

функцією від кількості затраченого капіталу K та кількості затраченої

праці L. Областю визначення цієї функції є множина {K(0; L(0}.

Переріз графіка функції z = f (x, y) площиною ZO називається лінією рівня цієї функції. Частіше під лінією рівня розуміють проекцію зазначеного перерізу. В будь-якому випадку її зображують на площині

9.Частинні похідні фбз.

Похідна від ф-ї u=f(x,y,z,…..t) за х вважаючи y,z,…t сталими наз-ся частинною похідною від uза x, позначають du/dx=u’_x=lim f((x)+∆x,y,z….t)-f(x,y,z,…t)/∆x

Z=x³-3x²y+y²

Z’_x=3x²-6xy

Z’_y=-3x²+2y

Геометричний зміст:Похідна z’_y(z’_x) чисельно=tg кута нахилу дотичної до кривої лінії,яка утворюється перетином поверхні z=f(x;y) і площиною x₀(y=y₀). Таким чином z’_x(x₀;y₀)=tgx

Z’_x(x₀;y₀)=tgb

Механічний зміст:z’_y(z’_x) – це швидкість зміни ф-ї у напрямку осі OY(OX), коли аргумент (х)у не змінюється.

Таким чином ФБЗ можна диференціювати за кожним аргументом.

10.Похідна за напрямом. Градієнт фбз.

Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначесна в деякому околі точки P₀=(x₀;y₀); l­ деякий промінь з початком в точці P₀=(x₀;y₀); P=(x;y) – точка на цьому промені, яка належить околу, що розглядається, – околу точки P₀=(x₀;y₀); l – довжина відрізка P₀Р. Границя , якщо вона існує, називається похідною ф-ії z=f(x;y) за напрямом в точці Р₀ і позначається

В частинному випадку, є похідна ф-ії z=f(x;y) за доданим напрямом осі О_{х ,} а – за напрямом осі О_у.

Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни ф-ії z=f(x;y) в точці P₀=(x₀;y₀) за напрямом .

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) має в точці P₀=(x₀;y₀) неперервні частинні похідні, тоді в цій точці існує неперервна похідна за будь-яким напрямом причому де – значення частинний похідних в точці P₀=(x₀;y₀).

Означення: Вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання ф-ії z=f(x;y) в точці P₀=(x₀;y₀)