Похідні основних елементарних функцій

Правила диференціювання

Похідна складеної функції Похідна оберненої функції

Похідна функції, заданої параметрично:

Таблиця інтегралів

6.Диференціал ф-ї. Геометричний зміст. Застосуваннядо наближених обчислень.

Якщо функція   має похідну   в точці  , то вираз   називається диференціалом (differential) функції в цій точці і позначається символом  . Тобто,

  .                              

Зауваження. Диференціал функції   в даній точці є головною лінійною частиною приросту функції, пропорційною приросту аргументу з коефіцієнтом пропорційності  :

  .

 Диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом, тобто

.

Для будь-якої диференційовної в точці х функції   формулу можна записати так:

.

Звідки отримаємо, що

,                                           

тобто похідну можна розглядати як відношення двох диференціалів.

Геометричний зміст диференціала 

Нехай  ,   та існує  . За означенням диференціала  .

Р ис. 3.4

Скористаємося геометричним змістом похідної:  . Зтрикутника   маємо:   або  . Але  , тому  . Отже, диференціал функції   в точці   визначає приріст ординати дотичної до кривої в точці   при переході від абсциси   до абсциси        (рис. 3.4).

 

Застосування диференціала в наближених обчисленнях

З означення похідної функції в точці   випливає, що її приріст   можна подати у вигляді:  , де  , якщо  .

Отже, при малих   має місце наближена рівність:

 

, тобто  .

Звідки

.                (3.12)

 

Формула (3.12) дозволяє знаходити значення функції   в точці  , якщо відомі значення   і  , з точністю 

 

,

де  .

Приклад 3.13. Наближено обчислити значення  .

Розв’язання. В даному випадку  ,  . Покладемо  , що відповідає   в градусній мірі;

.

 

За формулою (3.12), отримаємо:

 

,

 

тобто  .

Для того, щоб оцінити абсолютну і відносну похибки, скористаємось більш точним значенням, отриманим за допомогою калькулятора:  . Тоді  , а відносна похибка   дорівнюватиме:

.

7.Основні теореми диференціального числення.

Правила Лопіталя розкриття невизначеностей 

 

Теорема 3.10. (І правило Лопіталя). Якщо:

1) функції   і   диференційовні на інтервалі  ,   для всіх  ;

2)  ;

3) існує скінченна або нескінченна границя  ,

то існує границя  , причому має місце рівність:

.   

Приклад 3.24. Обчислити границю  .

Розв’язання. Ми маємо невизначеність типу  . Функції   і   задовольняють умови теореми в деякому околі точки  . Застосуємо правило Лопіталя:

.

Теорема Коші (Cauchy theorem) (про відношення приростів двох функцій)

Теорема 3.9. Якщо функції   і 

1) неперервні на відрізку  ,

2) диференційовні в інтервалі  , причому  ,

то в цьому інтервалі існує точка  ,   така, що має місце рівність:

 

.    

Теорема Ферма

Теорема 3.6. Нехай функція   визначена на інтервалі   і в деякій точці   має найбільше або найменше значення. Тоді якщо в точці   існує похідна, то вона дорівнює нулю, тобто  .