Вариант: 12
Задание 1. Найти изображение следующих функций:
а)
; б)
.
Задание 2. По данному графику оригинала найти:
а) изображение ступенчатой функции, используя теорему запаздывания;
б) изображение для периодической функции; в) изображение, используя преобразование Лапласа.
а)
|
б)
|
в)
|
|
.Задание
3.
Восстановить
оригинал по изображению
: 
.
Задание
4.
Найти
оригинал, учитывая, что изображения
представляются в виде суммы элементарных
дробей: 
.
Задание
5.
Средствами
операционного исчисления найти частные
решения дифференциальных уравнений
при указанных начальных условиях: а)
б)
Задание 6. Вечером Пете понадобилось обменять валюту. Он знает, что из трёх пунктов обмена валюты, расположенных поблизости, в это время работает лишь один, но не помнит, какой именно. Составить ряд распределения числа обменных пунктов, которые придётся посетить Пете, если считать, что каждый из пунктов может работать с вероятностью 1/3. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Задание 7. Для данных выборок определить выборочное среднее , выборочную дисперсию , «исправленную» выборочную дисперсию , моду Mo, медиану Me, размах R. Для a) составить вариационный и статистический ряды; для б) найти эмпирическую функцию распределения; для в) построить гистограмму и полигон, эмпирическую функцию распределения .
а) 2, 9, 5, 4, 3, 7, 4, 4, 4, 6.
б) |
xi |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
22 |
|
ni |
6 |
1 |
5 |
7 |
9 |
10 |
4 |
в) |
xi |
[0; 3) |
[3; 6) |
[6; 9) |
[9; 12) |
[12; 15) |
[15; 18) |
|
ni |
2 |
4 |
3 |
2 |
2 |
1 |
Задание 8. Предполагая, что распределение генеральных совокупностей является нормальным, найти 90 %-ные доверительные интервалы для математического ожидания (среднего) и дисперсии времени безотказной работы электролампы, если n = 25, = 500 ч, S2 = 100 ч.
Задание 9. Для каждой из приведенных ниже выборок (предполагается, что выборки получены из двумерных генеральных совокупностей (X, Y), имеющих нормальное распределение): а) построить корреляционное поле; б) вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции и проверить его значимость при ; в) найти уравнение прямых линий регрессии Y на X и X на Y, построить их графики:
X |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
Y |
3 |
18 |
20 |
40 |
48 |
Вариант: 13
Задание 1. Найти изображение следующих функций:
а)
; б)
.
Задание 2. По данному графику оригинала найти:
а) изображение ступенчатой функции, используя теорему запаздывания;
б) изображение для периодической функции; в) изображение, используя преобразование Лапласа.
а)
a |
б)
|
в) |
|
.Задание
3.
Восстановить
оригинал по изображению
: 
.
Задание
4.
Найти
оригинал, учитывая, что изображения
представляются в виде суммы элементарных
дробей: 
.
Задание
5.
Средствами
операционного исчисления найти частные
решения дифференциальных уравнений
при указанных начальных условиях: а)
б)
Задание 6. Два бомбардировщика поочередно сбрасывают бомбы на цель до первого попадания. Вероятность попадания в цель первым бомбардировщиком равна 0,7, вторым — 0,8. Вначале сбрасывает бомбы первый бомбардировщик. Составить первые четыре члена закона распределения числа сброшенных бомб обоими бомбардировщиками.
Задание 7. Для данных выборок определить выборочное среднее , выборочную дисперсию , «исправленную» выборочную дисперсию , моду Mo, медиану Me, размах R. Для a) составить вариационный и статистический ряды; для б) найти эмпирическую функцию распределения; для в) построить гистограмму и полигон, эмпирическую функцию распределения .
а) 1, 7, 6, 6, 2, 9, 1, 2, 1, 9.
б) |
xi |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
22 |
23 |
|
ni |
6 |
1 |
8 |
4 |
10 |
8 |
7 |
в) |
xi |
[0; 6) |
[6; 12) |
[12; 18) |
[18; 24) |
[20; 24) |
[24; 30) |
|
ni |
2 |
1 |
3 |
2 |
1 |
1 |
Задание 8. Станок-автомат штампует валики. Методом случайной повторной выборки установили средний размер диаметра валиков. В выборке из 100 валиков он оказался равным 25 мм. Найти с вероятностью 0,95 возможные пределы размера диаметра валика, считая распределение диаметра валика нормальным, а а среднее квадратическое отклонение равным 2 мм.
Задание 9. Для каждой из приведенных ниже выборок (предполагается, что выборки получены из двумерных генеральных совокупностей (X, Y), имеющих нормальное распределение): а) построить корреляционное поле; б) вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции и проверить его значимость при ; в) найти уравнение прямых линий регрессии Y на X и X на Y, построить их графики:
X |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
Y |
12 |
18 |
38 |
40 |
55 |