Вариант: 3
Задание 1. Найти изображение следующих функций:
а)
; б)
.
Задание 2. По данному графику оригинала найти:
а) изображение ступенчатой функции, используя теорему запаздывания;
б) изображение для периодической функции; в) изображение, используя преобразование Лапласа.
а)
|
б)
|
в)
|
|
.Задание
3.
Восстановить
оригинал по изображению
: 
.
Задание
4.
Найти
оригинал, учитывая, что изображения
представляются в виде суммы элементарных
дробей: 
.
Задание
5.
Средствами
операционного исчисления найти частные
решения дифференциальных уравнений
при указанных начальных условиях: а)
б)
Задание 6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Задание 7. Для данных выборок определить выборочное среднее , выборочную дисперсию , «исправленную» выборочную дисперсию , моду Mo, медиану Me, размах R. Для a) составить вариационный и статистический ряды; для б) найти эмпирическую функцию распределения; для в) построить гистограмму и полигон, эмпирическую функцию распределения .
а) 4, 9, 5, 2, 6, 9, 3, 3, 4, 9.
б) |
xi |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
22 |
|
ni |
6 |
4 |
1 |
5 |
7 |
8 |
10 |
в) |
xi |
[0; 6) |
[6; 12) |
[12; 18) |
[18; 24) |
[24; 30) |
|
ni |
2 |
3 |
1 |
1 |
2 |
Задание 8. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Статистическое распределение выборки представлено в таблице:
-
xi
3
5
7
8
10
12
14
ni
3
7
4
6
7
5
8
Найти с надежностью 0,97 доверительный интервал для оценки математического ожидания и с надежностью 0,95 – для оценки среднего квадратичного отклонения.
Задание 9. Для каждой из приведенных ниже выборок (предполагается, что выборки получены из двумерных генеральных совокупностей (X, Y), имеющих нормальное распределение): а) построить корреляционное поле; б) вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции и проверить его значимость при ; в) найти уравнение прямых линий регрессии Y на X и X на Y, построить их графики:
X |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
Y |
12 |
26 |
30 |
42 |
55 |
Вариант: 4
Задание 1. Найти изображение следующих функций:
а)
; б)
.
Задание 2. По данному графику оригинала найти:
а) изображение ступенчатой функции, используя теорему запаздывания;
б) изображение для периодической функции; в) изображение, используя преобразование Лапласа.
а)
|
б)
|
в)
|
|
.Задание
3.
Восстановить
оригинал по изображению
: 
.
Задание
4.
Найти
оригинал, учитывая, что изображения
представляются в виде суммы элементарных
дробей: 
.
Задание
5.
Средствами
операционного исчисления найти частные
решения дифференциальных уравнений
при указанных начальных условиях: а)
б)
Задание 6. Произведено два выстрела в мишень. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8; вторым — 0,7. Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. (Каждый стрелок делает по одному выстрелу).
Задание 7. Для данных выборок определить выборочное среднее , выборочную дисперсию , «исправленную» выборочную дисперсию , моду Mo, медиану Me, размах R. Для a) составить вариационный и статистический ряды; для б) найти эмпирическую функцию распределения; для в) построить гистограмму и полигон, эмпирическую функцию распределения .
а) 3, 7, 6, 4, 7, 1, 4, 2, 1, 2.
б) |
xi |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
|
ni |
9 |
5 |
4 |
7 |
8 |
10 |
6 |
в) |
xi |
[0; 5) |
[5; 10) |
[10; 15) |
[15; 20) |
[20; 25) |
|
ni |
1 |
3 |
4 |
2 |
1 |
Задание
8.
Предполагая,
что распределение генеральных
совокупностей является нормальным,
найти 90 %-ные доверительные интервалы
для математического ожидания (среднего)
и дисперсию ёмкости конденсатора, если
n = 16,
= 20 мкФ,
S2 = 16 мкФ.
Задание 9. Для каждой из приведенных ниже выборок (предполагается, что выборки получены из двумерных генеральных совокупностей (X, Y), имеющих нормальное распределение): а) построить корреляционное поле; б) вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции и проверить его значимость при ; в) найти уравнение прямых линий регрессии Y на X и X на Y, построить их графики:
X |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
Y |
96 |
132 |
136 |
158 |
189 |