Вариант: 26
Задание 1. Найти изображение следующих функций:
а) ; б) .
Задание 2. По данному графику оригинала найти:
а) изображение ступенчатой функции, используя теорему запаздывания;
б) изображение для периодической функции; в) изображение, используя преобразование Лапласа.
а)
|
б)
4
t |
в)
|
|
.Задание 3. Восстановить оригинал по изображению : .
Задание
4.
Найти
оригинал, учитывая, что изображения
представляются в виде суммы элементарных
дробей: 
.
Задание
5.
Средствами
операционного исчисления найти частные
решения дифференциальных уравнений
при указанных начальных условиях: а)
б)
Задание 6. В урне два белых и три черных шара. Шары наудачу достают из урны без возвращения до тех пор, пока не появится белый шар. Как только это произойдет, процесс прекращается. Найти закон распределения, функцию распределения и математическое ожидание числа произведенных опытов.
Задание 7. Для данных выборок определить выборочное среднее , выборочную дисперсию , «исправленную» выборочную дисперсию , моду Mo, медиану Me, размах R. Для a) составить вариационный и статистический ряды; для б) найти эмпирическую функцию распределения; для в) построить гистограмму и полигон, эмпирическую функцию распределения .
а) 7, 8, 6, 5, 9, 4, 2, 3, 5, 5.
б) |
xi |
4 |
7 |
10 |
13 |
16 |
19 |
22 |
|
ni |
8 |
6 |
1 |
9 |
6 |
8 |
2 |
в) |
xi |
[0; 3) |
[3; 6) |
[6; 9) |
[9; 12) |
[12; 15) |
[15; 18) |
|
ni |
2 |
2 |
4 |
3 |
2 |
1 |
Задание 8. Измерения твердости 16 образцов легированной стали (в условных единицах) дали следующие результаты: 13,1; 12,8; 11,9; 12,4; 13,5; 13,7; 12,0; 13,8; 10,6; 12,4; 13,5; 11,7; 13,9; 11,5; 12,5; 11,9. В предположении, что выборка измерении получена из нормально распределенной генеральной совокупности, найти 95 %-ные доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности.
Задание 9. Для каждой из приведенных ниже выборок (предполагается, что выборки получены из двумерных генеральных совокупностей (X, Y), имеющих нормальное распределение): а) построить корреляционное поле; б) вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции и проверить его значимость при ; в) найти уравнение прямых линий регрессии Y на X и X на Y, построить их графики:
X |
20 |
22 |
24 |
26 |
28 |
Y |
32 |
36 |
56 |
58 |
73 |
Вариант: 27
Задание 1. Найти изображение следующих функций:
а)
; б)
.
Задание 2. По данному графику оригинала найти:
а) изображение ступенчатой функции, используя теорему запаздывания;
б) изображение для периодической функции; в) изображение, используя преобразование Лапласа.
а)
|
б)
|
в)
|
|
.Задание
3.
Восстановить
оригинал по изображению
: 
.
Задание
4.
Найти
оригинал, учитывая, что изображения
представляются в виде суммы элементарных
дробей: 
.
Задание
5.
Средствами
операционного исчисления найти частные
решения дифференциальных уравнений
при указанных начальных условиях: а)
б)
Задание 6. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого – 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,75, для четвертого – 0,7. Найти математическое ожидание, функцию распределения и дисперсию числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.
Задание 7. Для данных выборок определить выборочное среднее , выборочную дисперсию , «исправленную» выборочную дисперсию , моду Mo, медиану Me, размах R. Для a) составить вариационный и статистический ряды; для б) найти эмпирическую функцию распределения; для в) построить гистограмму и полигон, эмпирическую функцию распределения .
а) 5, 9, 5, 9, 3, 8, 1, 3, 1, 8.
б) |
xi |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
|
ni |
7 |
5 |
7 |
2 |
6 |
9 |
8 |
в) |
xi |
[0; 1) |
[1; 2) |
[2; 3) |
[3; 4) |
[4; 5) |
[5; 6) |
[6; 7) |
|
ni |
4 |
2 |
3 |
1 |
3 |
2 |
2 |
Задание
8.
Оценка
величины сопротивления для большой
партии однотипных резисторов, определенная
по результатам измерений 10 случайно
отобранных экземпляров, равна
.
Считая, что среднее квадратичное
отклонение измерения известно:
,
найти доверительный интервал для оценки
того, что для резисторов всей партии
величина сопротивления лежит в пределах
100 0,1 кОм.
Сколько измерений нужно произвести,
чтобы с вероятностью γ = 0,95
утверждать, что для всей партии резисторов
величина сопротивления лежит в пределах
10 0,1 кОм?
Задание 9. Для каждой из приведенных ниже выборок (предполагается, что выборки получены из двумерных генеральных совокупностей (X, Y), имеющих нормальное распределение): а) построить корреляционное поле; б) вычислить выборочный коэффициент линейной корреляции и проверить его значимость при ; в) найти уравнение прямых линий регрессии Y на X и X на Y, построить их графики:
X |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
Y |
100 |
108 |
130 |
132 |
143 |