8. Тригонометрический ряд Фурье.

Было установлено что любое сложное колебание можно представить суммой синусоид и косинусоид гармонически связанных друг с другом:

где -круговая частота самого низкочастотного колебания которая связана с периодом этого колебания:

-первая гармоника.

Все остальные гармоники пропорциональны первой .

То тогда коэффициенты этого ряда рассчитываются следующим образом:

Подобного рода колебания представляют собой ограниченный класс. Кроме того, функция является периодической.

теперь периодическая функция равная :

В 1807 году Фурье доказал что любую функцию (даже такую которая имеет разрывы) можно представить в виде тригонометрического ряда, а коэффициенты рассчитываются также по формулам , интервалы интегрирования могут быть конечны.

Для анализа этот конечный интервал разбивают на полуинтервалы . Для периодических сигналов как видно из формулы (1) число гармоник равно бесконечности. Однако на практике число гармонических колебаний может быть ограничено. Дело в том что амплитуды -тых гармоник убывают с ростом . Среднеквадратическая погрешность:

9. Амплитудно-фазовое представление ряда Фурье.

10. Аналитический сигнал.

Реальные сигналы и помехи описываются действительной функцией времени, т.е. в любой момент времени характеризуются вещественной величиной. Однако, при анализе иногда удобно представлять их в комплексной форме. Например, реальный сигнал рассматривается как комплексная функция времени

где и - огибающая и фаза сигнала. Реальный действительный сигнал в этом случае определяется выражением:

Представленные таким образом с целью анализа сигналы и помехи называются «аналитическими».

Сигнал называется аналитическим, если его вещественные и мнимые части и образуют пару преобразований Гильберта:

Функция называется сопряженной с функцией по Гильберту. При таком выборе и огибающая и фаза сигнала определяются однозначно: - огибающая

- фаза

11. Вычисление сигнала через спектральные и временные характеристики.

12. Функция отсчетов sin(X)/X и ее свойства.

Множитель называется функцией отсчётов. Рассматривая семейство этих функций, соответствующих различным значениям , видим, что в каждый момент времени только одна функция равна 1, а все остальные равны нулю. Обладает свойством ортогональности. Ортогональные это такие функции, которые не имеют взаимной энергии, мощности (они меняются во времени) и коэффициент корреляции которых равен нулю. Идеализированная функция. Четная. Период определяется интервалом дискретизации. Спектральная плотность имеет прямоугольную форму с частотой среза F.

13. Спектры сигналов при аналоговых видах модуляции.

Спектром сигнала называют функцию, показывающую зависимость интенсивности различных гармоник в составе сигнала от частоты этих гармоник. Спектр периодического сигнала – это зависимость коэффициентов ряда Фурье от частот гармоник, которым эти коэффициенты соответствуют.

Учитывая известную теорему о спектре произведения сигнала на гармоническое колебание, можно заключить, что спектр АМ сдвигается вправо по оси частот на частоту несущей, а форма спектра АМ будет повторять форму спектра модулирующего сигнала с точностью до множителя (1/2). То есть, для получения графика спектра г) необходимо:

• взять гармоники модулирующего сигнала, начиная с первой;

• умножить амплитуды гармоник на 0.5:

• расположить их на оси частот симметрично относительно частоты несущей:

• нулевую гармонику без изменений её амплитуды разместить на частоте несущей.

Спектр АМ сигнала

Спектр ЧМ сигнала

Спектр ОФМ сигнала