13.Теоремы о спектрах

Приведем теперь без доказательства, несколько теорем о спектрах, выражающие основные свойства преобразования Фурье.

1. Теорема сложения. Спектр суммы нескольких сигналов равен сумме спектров этих сигналов.

2. Теорема запаздывания. Спектральная плотность сигнала полученного при сдвиге сигнала по оси времени на , определяется выражением

т.е. сдвиг функции по оси времени приводит к появлению фазового сдвига для всех частотных составляющих, равного .

3. Теорема смещения. Если - спектр функции , то спектру полученному путем сдвига исходного спектра по оси частот на величину , соответствует функция

4. Теорема о спектрах производной и интеграла. Спектры производной и интеграла от функции определяются выражениями

5) Теорема о спектре произведения. Спектр произведения двух функций S₁(t) и S₂(t) определяется операцией свертки их спектров:

14.Сигналы и помехи как случайные процессы

Случайными процессами называют процессы, которые математически описываются случайными функциями времени. Случайной называется функция, значения которой при каждом значении аргумента являются случайными величинами.

Случайная функция времени , описывающая случайный процесс, в результате опыта принимает ту или иную конкретную форму , неизвестную заранее

Любую функцию можно представить конечным числом точек, отстоящих на интервал Δt:

- длительность сигнала.

Номера уровней квантования можно передавать в десятичной системе счисления. Удобно выбрать двоичную систему счисления, которая является вероятностной.

В современных цифровых системах используется двоичное кодирование, т.е. номера сигналов можно передавать как цифровые (численные) последовательности. В групповом канале последовательности всех каналов образуют непрерывную последовательность

Помеха по определению – дискретный или аналоговый процесс. Разницей между сигналом и помехой нет, т.е. они описываются случайной функцией времени. Но разницы нет только в этом смысле.

– случайные процессы.

В зависимости от того, какие значения принимает случайный процесс в моменты времени , случайные процессы подразделяют на дискретные и непрерывные.

- коэффициент взаимной корреляции

- коэффициент различимости

ФМ

АМ

Многофазная ЧМ

- ряд Котельникова лежит в основе систем передачи информации с временным разделением.

15. Статистические характеристики. Флуктуационные помехи.

Флуктуационная помеха – множество случайных последовательностей импульсов, которые накладываются друг на друга. Флуктуационная (Гауссовская) помеха характеризуется нормальным законом распределения вероятностей амплитудных значений.

Это выражение справедливо для одномерной плотности. -плотность – плотность вероятности.

- мощность флуктуационной помехи

- среднее значение или постоянная составляющая;

- вероятность того, что амплитудное значение флуктуационной помехи попадет в интервал ;

– вероятность того, что все значения флуктуационной помехи

будут лежать левее ;

- этот интеграл вычисляется через табулированную функцию Лапласа ,

Часто возникает задача вычисления попадания флуктуационной помехи в интервал от до , вероятность попадания которой равна:

Существует несколько видов функции Лапласа: которая задается от - до и от до .

Т.к. нормальный закон распределения известен, достаточно знать параметры: среднее значение (постоянная составляющая) и среднеквадратическое отклонение (мощность помехи)

Характеристический спектр флуктуационной помехи должен быть нормально распределен.

– мощность помехи на 1 Гц частоты.

Если спектр задан на бесконечном интервале, то помеха называется белым шумом, т.е. это широкополосный шум.

Если ширина шума , то можно принять помеху за белый шум.

Интервал корреляции , если это идеальный белый шум, т.е. все отдельные значения этой функции независимы друг от друга, т.е. некоррелированы, и такую функцию можно назвать функцией Дирака.

Если , то помеха называется окрашенным шумом.

Степень случайности значений функции помехи можно определить через интервал корреляции – это интервал, на который отстают две помехи. Чем больше , тем процесс более случайный.