6. Математические модели сигналов, каналов и помех.

Сигналы, каналы и помехи являются объектами сложной природы. Например: сигнал представляется некоторой случайной функцией X(t), канал задан своей функцией со своим коэффициентом передачи и т.д.

Одной из идей позволяющих построить мат модель сигнала является разложение на элементарные сигналы.

Появляется возможность решения некоторых задач по каналу K(t) в виде решения элементарных задач, которые заключаются в передаче простых функций (используя принцип суперпозиции).

K(t)

{Bk(t)}

Если комбинация линейна и задача 4х-полюсник (канал) то на выходе получим линейную комбинацию.

Это будет справедливо лишь тогда, когда множество этих функций -линейно независимы. (Линейные это когда жизнь каждой из элементарных функций независима, то есть время у них одинаково, но живут они в разных пространствах.)

Такими свойствами (линейной независимостью) обладает класс ортогональных функций.

Две ортогональные функции: .

Свойства линейно независимых функций:

1. Математически это означает, что векторы элементарных функций взаимно перпендикулярны.

2. Любые два сигнала, выбранные из множества ортогональных, статистически независимы (не коррелированны).

7. Тригонометрический ряд Фурье.

Было установлено что любое сложное колебание можно представить суммой синусоид и косинусоид гармонически связанных друг с другом:

где -круговая частота самого низкочастотного колебания которая связана с периодом этого колебания:

-первая гармоника.

Все остальные гармоники пропорциональны первой .

То тогда коэффициенты этого ряда рассчитываются следующим образом:

Подобного рода колебания представляют собой ограниченный класс. Кроме того, функция является периодической.

теперь периодическая функция равная :

В 1807 году Фурье доказал что любую функцию (даже такую которая имеет разрывы) можно представить в виде тригонометрического ряда, а коэффициенты рассчитываются также по формулам , интервалы интегрирования могут быть конечны.

Для анализа этот конечный интервал разбивают на полуинтервалы . Для периодических сигналов как видно из формулы (1) число гармоник равно бесконечности. Однако на практике число гармонических колебаний может быть ограничено. Дело в том что амплитуды -тых гармоник убывают с ростом . Среднеквадратическая погрешность:

8.Аналитический сигнал.

Реальные сигналы и помехи описываются действительной функцией времени, т.е. в любой момент времени характеризуются вещественной величиной. Однако, при анализе иногда удобно представлять их в комплексной форме. Например, реальный сигнал рассматривается как комплексная функция времени

где и - огибающая и фаза сигнала. Реальный действительный сигнал в этом случае определяется выражением:

Представленные таким образом с целью анализа сигналы и помехи называются «аналитическими».

Сигнал называется аналитическим, если его вещественные и мнимые части и образуют пару преобразований Гильберта:

Функция называется сопряженной с функцией по Гильберту. При таком выборе и огибающая и фаза сигнала определяются однозначно: - огибающая

- фаза