7.2. Передаточная функция регулятора.
Рациональные законы управления в каждом конкретном случае определяются желаемыми показателями качества процесса регулирования, технологическими требованиями с учетом ограничений на регулируемые параметры, энергетическими возможностями элементов и устройств системы регулирования и другими. Эти факторы в совокупности с возмущениями являются определяющими при выборе структуры контуров и расчете параметров системы подчиненного регулирования. Структура регуляторов зависит от структуры подобъекта и ограничений, и расчет параметров системы подчиненного регулирования по сути свой сводится к последовательной оптимизации всех соподчиненных контуров регулирования. В данном случае под оптимизацией понимается приведение передаточной функции контура регулирования в соответствие с поставленными требованиями.
В общем случае передаточную функцию объекта регулирования в любом из замкнутых контуров системы подчиненного регулирования можно представить в следующем виде
.
(7.2)
В том выражении второй сомножитель W0i(p) – передаточная функция звеньев, определяющих инерционность объекта контура регулирования, т.е. звеньев с большими постоянными времени, а первый сомножитель – это произведение передаточных функций эквивалентных апериодических звеньев с малыми постоянными времени и существенно не влияющих на динамические свойства объекта.
Исходя из такой структуры объекта регулирования суть оптимизации любого соподчиненного контура регулирования заключается в компенсации больших постоянных времени и достижении, с учетом малых постоянных времени, требуемых динамических свойств замкнутого контура за счет соответствующих структуры и параметров регулятора.
Остановимся подробнее на вопросе компенсации постоянных времени объекта регулирования. Рассмотрим простейший случай, когда объект регулирования представляет собой апериодическое звено первого порядка
,
(7.3)
где К и Т – соответственно коэффициенты усиления и постоянная времени звена.
Очевидно, что полная компенсация постоянной времени, т.е. трансформации апериодического звена в безинерционное (усилительное),? регулятор включенный последовательно с объектом должен иметь передаточную функцию
.
(7.4)
Исходя из этого, передаточные функции разомкнутого и замкнутого контура регулирования соответственно равны
,
(7.5)
.
(7.6)
Контур регулирования получился безинерционным статическим.
Физически это означает, что для мгновенного изменения выходного параметра инерционного звена на его вход необходимо подать сигнал в виде импульса с бесконечно большой амплитудой, что реально невозможно ввиду ограниченности энергетических возможностей регулятора. В связи с этим абсолютная компенсация инерционности технически невозможна, и можно говорить только о степени приближения к абсолютной компенсации. Однако по мере приближения к абсолютной компенсации снижается помехозащищенность контура регулирования.
Таким образом, предел приближения к абсолютной компенсации ограничивается энергетическими возможностями элементов и устройств системы регулирования и требованиями помехозащищенности отдельных контуров и системы регулирования в целом.
Ограничения предельного быстродействия в рассматриваемом случае можно достичь введением в контур регулирования фиктивного интегрирующего звена с постоянной времени Т0 за счет регулятора. Тогда передаточная функция регулятора примет следующий вид:
.
(7.7)
Соответственно передаточные функции разомкнутого и замкнутого контуров, согласно (7.5) и (7.6), равны
;
(7.8)
.
(7.9)
В этом случае замкнутый контур обращается в апериодическое звено, а статическая ошибка замкнутого контура сводится к нулю. Постоянную времени Т0 в дальнейшем будем называть постоянной интегрирования контура.
Результатом компенсации в рассмотренном случае явилась замена разомкнутого контура интегрирующим звеном с постоянной интегрирования Т0, а замкнутого контура апериодическим звеном с постоянной времени Т0 и коэффициентом усиления равным единице.
В любом случае структура (передаточная
функция) регулятора определяется
структурой (передаточной функцией)
объекта компенсации
.
При этом, в зависимости от вида передаточной
функции, получается в основном три типа
регуляторов.
Если объектом является интегрирующее звено
,
(7.10)
то передаточная функция регулятора, из условия компенсации Ти , равна
.
(7.11)
В этом случае регулятор называется пропорциональным (П-регулятор).
Если объектом является инерционное звено первого порядка
,
(7.12)
то передаточная функция регулятора равна
.
(7.13)
В этом случае передаточная функция регулятора включает две составляющие – пропорциональную и интегральную, в соответствии с чем, регулятор называется пропорционально-интегральным (Пи-регулятор).
Если объектом является звено второго порядка
,
(7.14)
то передаточная функция регулятора равна
.
(7.15)
В этом случае передаточная функция регулятора включает три составляющие, в соответствии с чем, регулятор называется пропорционально-интегрально-дифференциальным (ПИД-регулятор). Независимо от структуры объекта, при изложенном принципе выбора регулятора передаточные функции разомкнутого и замкнутого контуров соответственно равны
;
(7.16)
.
(7.17)
Таким образом, на основании изложенного выше, можно заключить, что в результате точной компенсации постоянных времени объекта регулирования, независимо от его структуры, и введения в контур регулирования, за счет регулятора, фиктивного интегрирующего звена, передаточная функция и параметры разомкнутого и замкнутого контуров описываются выражениями (7.16) и (7.17).
Рис. 7.2. Структурные схемы контура регулирования: а – исходная; б – преобразованная.
Реальные объекты регулирования в общем случае могут включать в себя звенья как с большими, так и с малыми постоянными времени, как показано на рис. 7.2а. Если и параметры регулятора выбраны из условия компенсации больших постоянных времени, входящих в Wок(р), то структурная схема контура регулирования принимает вид, представленный на рис. 7.2б, и передаточная функция разомкнутого контура равна
.
(7.18)
При
без
существенной погрешности, пренебрегая
членами высшего порядка можно принять
,
(7.19)
где
-
сумма малых постоянных времени объектов
регулирования в контуре.
Тогда
(7.20)
и соответственно для замкнутой
.
(7.21)
Принимая, что в общем случае
,
(7.22)
для разомкнутого и замкнутого контуров передаточные функции равны
;
(7.23)
.
(7.24)
В этих выражениях коэффициент а определяет быстродействие контура регулирования и называется коэффициентом демпфирования. В конечном итоге все контуры регулирования можно представить эквивалентным инерционным звеном второго порядка с передаточной функцией (7.24).
С учетом вышепринятого допущения структурная схема любого контура системы подчиненного регулирования может быть представлена в виде приведенном на рис. … . Согласно этой структурной схеме передаточная функция разомкнутого контура запишется в следующем виде
.
(7.25)
Тогда, из условия равенства правых частей (7.24) и (7.25) получим выражение для определения передаточной функции регулятора
.
(7.26)