1.4 Применение тройных интегралов

Для вычисления координат центра тяжести тела нужны статические моменты относительно координатных плоскостей Оху, Охz, Оуz; обозначим их соответственно Повторяя рассуждения получим следующие формулы для координат центра тяжести неоднородного тела, плотность которого задается функцией занимающего область :

Если тело однородно, т. е. , то формулы упрощаются:

где V- объём тела.

Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара :

Две координаты центра тяжести равны нулю, ибо полушар симметричен относительно оси Оz (тело вращения с осью Оz).

Интеграл удобно вычислить, перейдя к сферическим координатам:

Так как объём полушара равен то

Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно координатных осей. Так как квадраты расстояний от точки P(x, y, z) до осей Ox, Oy, Oz соответственно равны то полагая для простоты получим следующие формулы :

Аналогично плоскому случаю интегралы

- называются центробежными моментами инерции.

Для полярного момента инерции формула имеет вид:

Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знаком интеграла будет находиться дополнительный множитель - плотность тела в точке P.

Пример. Вычислим полярный момент инерции однородного шара радиуса R. В этом случае очень удобно перейти к сферическим координатам. Будем иметь

где М - масса шара.

Так как для сферы моменты инерции относительно осей координат, очевидно, равны между собой, то, учитывая, что

получим

Моменты инерции тела относительно оси играют важную роль при вычислении кинетической энергии тела при его вращении около соответствующей оси. Пусть тело вращается около оси Оz с постоянной угловой скоростью . Найдем кинетическую энергию тела. Как известно, кинетическая энергия точки измеряется величиной , где т -масса точки, а - величина ее скорости. Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма кинетических энергий отдельных точек, а кинетическая энергия тела - как сумма кинетических энергий всех частей, на которые оно разбито. Это обстоятельство позволяет применить для вычисления кинетической энергии интеграл.

Возьмем какую-нибудь окрестность точки Р(х, у, z) тела . Величина линейной скорости точки Р при вращении около оси Оz равна и значит, кинетическая энергия части тела выразится так :

где - плотность тела в точке Р. Для кинетической энергии всего тела получаем

т.е.

Кинетическая энергия тела, вращающегося около некоторой оси с постоянной угловой скоростью, равна половине квадрата угловой скорости, умноженной на момент инерции тела относительно оси вращения.

2. Решение задач с использованием тройного интеграла

тройной интеграл декартовый координата

1) Вычислить тройной интеграл:

если область T ограничена поверхностями

z = 0 и (z - 1)² = x² + y².

Решение.

Область T представляет собой конус (см. Рис. 8, а).

Рис. 8

Уравнение конической поверхности, ограничивающей область T, можно записать в виде, а саму область T представить следующим образом

,

где G - круг радиуса 1 с центром в начале координат. Поэтому данный тройной интеграл можно свести к последовательному вычислению трех определенных интегралов в прямоугольных координатах:

Однако удобнее перейти к цилиндрическим координатам (с, ц, z): x = с cos ц, y = с sin ц, z = z. Тогда прообраз круга G есть прямоугольник {(с, ц): 0 ? с ? 1, 0 ? ц ? 2р}, прообраз конической поверхности - плоская поверхность z = 1 - с, прообраз области T - область ф, изображенная на Рис. 1, б. Якобиан перехода к цилиндрическим координатам равен с, подынтегральная функция в цилиндрических координатах равна с²(1 + sin2ц) - z. Сводя тройной интеграл по области ф к последовательному вычислению трех определенных интегралов, получим,

Отметим, что расстановку пределов интегрирования в цилиндрических координатах можно произвести, рассматривая не область ф, а изменение цилиндрических координат в области T. Наглядно видно, что в области G переменная ц изменяется от 0 до 2р, при каждом значении ц переменная с изменяется от 0 до 1, а для каждой точки (с, ц) области G переменная z изменяется в области T от 0 (значение z в области G) до (значение z на конической поверхности). Это позволяет расставить пределы интегрирования так, как сделано в равенстве (*).

2) Вычислим тройной интеграл

где - область, ограниченная координатными плоскостями и плоскостью (пирамида, изображённая на рис.4).

Интегрирование по z совершается от z=0 до Поэтому, обозначая проекцию области на плоскость Oxy через D, получим

Расставим теперь пределы интегрирования по области D - треугольнику, уравнения сторон которого

3)Вычислить интеграл

Решение. Найдем последовательно все три интеграла:

4) Найти интеграл

,

где область интегрирования U ? шар, заданный уравнением

x² + y² + z² = 25.

Решение:

Поскольку область U представляет собой шар, и к тому же подынтегральное выражение является функцией, зависящей от f (x² + y² + z²), то перейдем к сферическим координатам. Сделаем замену:

Новые переменные изменяются в пределах:

Учитывая якобиан с²sin и, записываем интеграл в виде:

5) Вычислить интеграл

где область U представляет собой единичный шар

x² + y² + z² ? 1.

Решение:

Центр данного шара расположен в начале координат. Следовательно, в сферических координатах область интегрирования U описывается неравенствами

Записывая интеграл в сферических координатах, получаем

Как видно, тройной интеграл вырождается в произведение трех однократных интегралов, каждый из которых вычисляется независимо. В результате находим:

Заключение

В данной работе мы рассмотрели понятие тройного интеграла и его вычисление, а также их применение к решению прикладных задач. С помощью тройных интегралов изложено нахождение площадей, ограниченных различными кривыми, объёмов, ограниченных различными поверхностями, в том числе нахождение площадей и объёмов тел вращения. Рассмотрены вычисления тройного интеграла в декартовых, сферических, цилиндрических координатах. Представлены некоторые механические приложения для тройного интеграла: нахождение статических моментов, координат центра тяжести кривой, массы тела. Приведены физические приложения, например, важная роль моментов инерции тела относительно оси при вычислении кинетической энергии тела при его вращении около соответствующей оси. В работе приведены свойства тройных интегралов. Показаны примеры решения задач на нахождение тройного интеграла.

Список использованной литературы

1. А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. Краткий курс математического анализа для втузов: Учебное пособие для втузов: - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1971 г. 736 с.

2. Б.П. Демидович. Задачи и упражнения по математическому анализу: Учебное пособие для втузов. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1970 г. 248 с.