1.5. Моделювання проходження електричних сигналів.

Завдання 2. Вимушені коливання струму в електричному коливальному контурі (див. малюнок) описуються диференціальним рівнянням

де i - струм, L - індуктивність котушки, R - опір втрат, C - ємність конденсатора, U_m - амплітуда напруги генератора, ω = 2рf - кутова частота. Опір нелінійного резистора залежить від струму, що протікає через нього: R = Ro (1 + к i² ), де к - коефіцієнт.

Розрахуйте і побудуйте графіки залежностей u(t) = U_msin((ut) і i(t), охоплюючі декілька періодів коливань, для Um = 1 В і початкових умов di/dt = 0 і = 0 при t = 0. Решта даних приведена в таблиці.

Параметр	Варіант
	09	10	11	12	13	14	15	16	17
Ro,Ом	2	3	5	3	7,5	6	8	4	1
L,мкГн	1	5	10	50	2	21	25	30	10
С, мкФ	0,001	0,01	0.015	0,047	0,022	0,036	0,01	0,081	0,068
f,Гц	106	5·106	105	2·105	2·106	3·106	6·106	6·105	6·104
к, 1/А2	8·1010	2·1014	1014	5·1010	5·1015	5·1012	5·1013	5·1014	7·1012

Розв’язок в MatLab:

>> dt=0.1;

>> t=0:dt:1;

>> Um=1;

>> fg=2;

>> ug=Um*sin(2*pi*fg*t);

>> plot(t,ug)

Завдання №2. Дослідження електричного кола постійного струму

Дано:

E1=36

E2=20

E3=150

R1=33

R2=19

R3=56

R4=73

R5=41

R6=28

Перші 4 рівняння складемо по першому закону для вузлів a, b, d і m.

Інші 3 рівняння складемо по другому закону для контурів I, II і III (напрямки обходу зазначені на схемі рис. 2.5).

> A1=[-1,1,0,0,0,1,0];

>> A2=[0,-1,1,0,-1,0,0];

>> A3=[0,0,0,0,1,-1,0];

>> A3=[0,0,0,0,1,-1];

>> A2=[0,-1,1,0,-1,0];

>> A1=[-1,1,0,0,0,1];

>> A4=[0,0,56,73,41,0];

>> A5=[33,0,0,0,0,28];

>> A6=[0,19,0,0,-41,-28];

>> A=[A1;A2;A3;A4;A5;A6]

A =

-1 1 0 0 0 1

0 -1 1 0 -1 0

0 0 0 0 1 -1

0 0 56 73 41 0

33 0 0 0 0 28

0 19 0 0 -41 -28

>> B=[0;0;0;114;-16;-150]

B =

0

0

0

114

-16

-150

>> I=inv(A)*B

I =

-1.6321

-2.9843

-1.6321

2.0543

1.3522

1.3522

Вирішимо цю систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою MATLAB.

Введемо матрицю з коефіцієнтів при невідомих струмах (в сьомому стовпці коефіцієнти при ):

Визначимо струми в вітках методом контурних струмів.

Перетворимо джерело струму в джерело ЕРС E=I₂R₂= =16 (В).

Далі будемо працювати зі спрощеною схемою (рис. 2.6)

Позначимо напрямки контурних струмів I₁₁, I₂₂, I₃₃, для трьох незалежних контурів (рис. 2.6).

Запишемо систему рівнянь в загальному виді:

Знайдемо коефіцієнти і вільні члени.

R₁₁, R₂₂, R₃₃ – власні опори контурів:

R₁₂, R₂₁, R₁₃ R₃₁, R₂₃, R₃₂ – взаємні опори між контурами:

E₁₁, E₂₂, E₃₃ – контурні ЕРС:

Вирішимо цю систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою MATLAB.

Введемо матрицю з коефіцієнтів при невідомих і матрицю з вільних членів:

>> C1=[170,-41,-28];

>> C2=[-41,116,-56];

>> C3=[-28,-56,69];

>> C=[C1;C2;C3]

C =

170 -41 -28

-41 116 -56

-28 -56 69

>> D=[124;-16;-150]

D =

124

-16

-150

I=inv(C)*D

I =

-0.6063

-2.5000

-4.4489

В даному випадку рішення системи рівнянь визначає контурні струми:

I₁₁=-0,6 (А), I₂₂=-2,5 (А), I₃₃=-4,4 (А)

Знаючи контурні струми знайдемо струми в вітках:

Перевіримо правильність наших розрахунків. Для цього складемо баланс потужностей для вихідної схеми:

I₂ ;

;

I₂

Підставимо числові значення:

Одержали вірну рівність:

10,828=10,828

Це підтверджує правильність наших розрахунків.