10.Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения методом Милна.

Пусть для уравнения y' = f(x,y) кроме начального условия y(x0) = y0 известен "начальный отрезок", то есть значения искомой функции y(xi) = yi в точках xi = x0 + ih,(i = 1,2,3)- их можно найти одним из методов, изложенных выше. Последующие значения при i=4,5,... определяются следующим образом. Для предсказания используется первая формула Милна . Используя yi^p , находим и производим уточнение (коррекцию) по второй формуле Милна . Абсолютная погрешность εi более точного значения yi^k приближенно определяется по формуле . Эта формула позволяет на каждом шаге контролировать точность полученного результата. Если искомое решение требуется найти с точностью до ε и окажется, что ,то можем положить и перейти к вычислению yi + 1.В противном случае следует уменьшить шаг h.

Метод Милна можно использовать для приближенного решения систем дифференциальных уравнений первого порядка,ма также уравнений высших порядков, которые предварительно следует преобразовать в такие системы.

11.Численное решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом конечных разностей.

Пусть x0 = a,xn = b,xi = x0 + ih(i = 1,2,...,n − 1) - система равноотстоящих узлов с некоторым шагом и pi = p(xi),qi = q(xi),fi = f(xi) . Обозначим получаемые в результате расчета приближенные значения искомой функции y(x) и ее производных y'(x),y''(x) в узлах xi через соответственно. Заменим приближенно в каждом внутреннем узле производные y'(xi),y''(xi) конечно-разностными отношениями , а на концах положим . Используя эти формулы , приближенно заменим уравнение y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) и краевые условия системой уравнений

Получим линейную алгебраическую систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными. Решив ее, если это возможно, получим таблицу приближенных значений искомой функции.

Более точные формулы получаются, если заменить y'(xi),y''(xi) центрально-разностными отношениями . Тогда получим систему

Оценка погрешности метода конечных разностей имеет вид ,где y(xi)-значение точного решения при x = xi,M4 = max[a,b] | y(4)(x) | .

В практических задачах часто встречаются уравнения, в которых функции p(x),q(x),f(x) заданы таблично с некоторым шагом h. Совершенно естественно такие уравнения решать разностным методом с данным шагом h.

12. Численное решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом прогонки.

1. Рассмотрим систему, полученную при замене уравнения и краевых условий конечно-разностными отношениями:

Метод прогонки решения таких систем заключается в следующем. Запишем сначала первые n-1 уравнений системы в виде

y_{i + 2} + m_iy_{i + 1} + k_iy_i = h²f_i, где m_i = − 2 + hp_i,k_i = 1 − hp_i + h²q_i,(i = 0,1,2,...,n − 2).

Затем написанная выше система приводится к виду y_{i + 1} = c_i(d_i − y_i + 2),(i = 0,1,2,...,n − 2). Числа c_i,d_i последовательно вычисляются по формулам:

при i=0 ;

при i=1,2,...,n-2 .

Вычисления производятся в следующем порядке.

ПРЯМОЙ ХОД. По формулам вычисляем значения m_i,k_i.Находим c₀d₀ и затем, применяя последовательно рекуррентные формулы, получаем значения c_id_i при i = 1,2,...,n − 2 .

ОБРАТНЫЙ ХОД.Из уравнения при i=n-2 и последнего уравнения системы получаем .

Решив эту систему относительно y_n, будем иметь Используя уже известные числа c_{n − 2}d_{n − 2}, находим y_n. Затем вычисляем значения y_i(i = n − 1,...,1),последовательно применяя рекуррентные формулы:

Значение y₀ находим из предпоследнего уравнения системы: .

2. Рассмотрим метод прогонки для решения системы, которая получается при замене уравнения и второго краевого условия центральными конечно-разностными отношениями:

Запишем сначала первые n-1 уравнений системы в виде , где . Затем приводим эти уравнения к виду y_i = c_i(d_i − y_i + 1),(i = 1,2,...,n − 1), где коэффициенты c_i,d_i вычисляются по формулам: при i=1 ; при i=2,...,n-2 .

Вычисления производятся в следующем порядке.

ПРЯМОЙ ХОД. По формулам вычисляем значения m_i,k_i.Находим c₁d₁ и затем, применяя последовательно рекуррентные формулы, получаем значения c_id_i при i = 2,...,n − 2 .

ОБРАТНЫЙ ХОД.Запишем уравнение при i = n,i = n − 1 и последнее уравнение системы: .

Решая эту систему относительно y_n, будем иметь Используя уже известные числа c_n,d_n,c_{n– 1}d_{n − 1}, находим y_n. Значения y_i(i = n − 1,...,1)получаем из рекуррентных формул.

Значение y₀ находим из предпоследнего уравнения системы: .