27. Сферичні координати

Положення точки M(x,y,z) можна однозначно задати числами ρ,θ,φ, де ρ – довжина радіус-вектора точки М, φ – кут, який утворює з віссю Ох проекція радіус-вектора точки М на площину Оху, θ – кут , який утворює радіус-вектор точки М з віссю Оz. Числа ρ,θ,φ називаються сферичними координатами точки М. Сферичні координати ρ,θ,φ зв'язані з декартовими координатами такими співвідношеннями: x = ρsinθcosφ, y = ρsinθsinφ,

z = ρcosθ, при чому 0≤ ρ<+∞, 0≤ θ <π, 0≤ φ<2 π.

Обчислимо якобіан: ∂

I(ρ,θ,φ)= = =

= ρ²sinθcos²θ + ρ²sin³θ = ρ²sinθ.

Використовуючи отримане, запишем формулу: =

= , де ρ²sinθdρdθdφ – елемент об'єму в сферичних координатах.

28. Криволінійний інтеграл. Маса кривої наближено рівна m = . Ця сума називається інтегральною сумою для функції f(x,y) на дузі (АВ). Якщо існує границя цієї інтегральної суми при прямуванні λ = max∆Si до 0, то ця границя називається криволінійним інтегралом 1-го роду від ф-ї f(x,y) по кривій L і позначається символом або .

Отже = . Поняття криволінійного інтеграла 1 роду по просторовій L: = . Обчислення: інтегральна сума криволінійного інтеграла: . Цей вираз є інтегральною сумою для визначеного інтеграла: . Одже = (R) . Зробивши заміну змінної в правій частині цієї рівності отримаємо формулу для обчислення криволінійного інтеграла 1-го роду: = (1). Якщо крива L задана рівнянням у = ψ(х), а≤х≤b, φ(х) – неперервно диференційована функція на відрізку [а,b], то взявши х за параметр, формула(1) буде виглядати: = . Якщо L-просторова крива: x=x(t), y=y(t), z=z(t), λ≤t≤β, де x(t), y(t), z(t) – неперервно диференційовані функції на відрізку [λ,β]. f(x,y,z) – неперервна на кривій L, то

= .

29. Означення Кратного інтегралу Рімана

Нехай Функція f(x) визначена на вимірній за Жорданом множині G, а T - розбиття множини . візьмемо на кожній множині точку . Вираз

Називають інтегральною сумою Рімана для функції f(x) на множині G , що відповідає розбиттю T і вибірці точок .

Означення. Число I називається границею інтегральної суми при дрібності , якщо таке, що для довільного розбиття T з дрібністю і довільної вибірки виконується нерівність

При цьму пишуть

Число I називають кратним інтегралом Рімана від функції f(x) на множині G, а функцію – інтегрованою на множині G.

Для кратного інтеграла Рімана використовують позначення

При n=1 маємо визначений інтеграл.

При n=2 інтеграл називають подвійним інтегралом, при n=3 - потрійним інтегралом. Відповідно позначають ці інтеграли

Де D - область на пл.Oxy.

V - деяка обмежена замкнена множина в прямокутній сист. координат Oxyz.

30. Поверхневий інтеграл II роду і його обчислення

Нехай задана проста поверхня :

x= , y= z= , і нехай в деякому околі поверхні задано неперервне векторне поле, тобто визначена вектор-функція

(x,y,z) =P(x,y,z) +Q(x,y,z) +R(x,y,z) .

Функції P,Q,R є неперервними в деякій області, що містить поверхню . Орієнтуємо поверхню одиничними нормалями

= , =[ , ] (1)

Протилежна орієнтація поверхні виникає при зміні в формулі (1) вектора на вектор (- ).

Зауважимо, що для простої поверхні

0

Спроектуємо в кожній точці поверхні вектор на нормальний вектор. Тоді на поверхні буде визначена неперервна функція F(x,y,z)=( , ), знак якої залежить від орієнтації поверхні. Потоком вектор-функції (x,y,z) через орієнтовану поверхню називають поверхневий інтеграл першого роду

(3)

Перейдемо до інших форм запису інтеграла (3).Нагадаємо, що

=( x, y, z)=( ) (10)

Елемент поверхні ds проектується на dxdy елемент площини (Рис.2)

Для достатньо малих ds можна записати =dxdy.

Аналогічно можемо записати ds= dzdx, ds= dydz

= або

= (4)

Зауважимо, що часто праву частину формули (4) визначають як поверхневий інтеграл ІІ роду.

Знайдемо формули обчислення криволінійного інтеграла 4:

= , )( , )dudv= , )dudv