1.Основные тригонометрические тождества.

• sin² α + cos² α = 1

• tg α · ctg α = 1

• tg α = sin α ÷ cos α

• ctg α = cos α ÷ sin α

• 1 + tg² α = 1 ÷ cos² α

• 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

2.Формулы приведения и правила их применения.

Все формулы приведения получаются из соответствующих формул сложения.

Применение формул приведения можно свести к использованию мнемонического правила:

1. Определяется название приведенной функции по следующему правилу: если аргумент приводимой функции имеет вид   или  , то функция меняется на сходственную, если аргумент приводимой функции имеет вид  , то функция названия не меняет.

2. Определяется координатная четверть, в которой лежит аргумент приводимой функции, в предположении, что   — острый угол, и определяется знак приводимой функции в этой четверти.

Формулы приведения

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• ;

• .

3.Формулы сложения, двойного и тройного угла.

Формулы сложения аргументов
	(4)
	(5)
	(6)

Формулы двойного угла выводятся из формул (4), (5) , (6) и (7), если принять, что угол β равен углу α:

Формулы двойного угла
	(23)
	(24)
	(25)

Формулы тройного угла

4.Формулы половинного угла.

Если в первой и во второй формуле заменить 2  на t,  получим формулы, которые называются понижение степени и удвоения угла:  cos2t=21+cos2t; sin2t=21−cos2t/

5.Формулы преобразования суммы(разности) в произведение.

6.Формулы преобразования произведения в сумму(разность).

, , .

7.Функции y=sinx, y=arcsinx и их свойства.

y=sinx

а)  Область определения:   D (sin x) = R .

    б)  Множество значений:   E (sin x) = [ – 1 ,  1 ] . в)  Четность, нечетность:   функция нечетная.

    г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  T = 2 .

    д)  Нули функции:  sin x = 0  при   x =  n,   n   Z.

    е)  Промежутки знакопостоянства:

;       .

      ж)  Промежутки монотонности: ;

.

      з)  Экстремумы:  ;           .

     График функции    y= sin x   изображен на рисунке.

Арксинусом  числа   y    [ – 1, 1]    называется  такая   дуга     , синус  которой  равен  y,   т.е.  L  .

       Функция   x = arcsin y   является   обратной  к  функции    y = sin x   на отрезке   .    Для   исходной  и  обратной  функций   привычнее  аргументы  и   функцию  обозначать  одними   и  теми  же  буквами:     y = sin x,   y = arcsin x.  

      В  таких  обозначениях  графики  указанных  функций  симметричны     относительно  прямой   y = x.   Поэтому,  нарисовав  график  функции  y = sin x на отрезке       и  симметрично   отобразив   его   относительно   прямой y = x,   получим  график  арксинуса.

8.Функция y=cosx, y=arccosx и их свойства.

y=cosx

  а)  Область определения:   D (cos x) = R .

    б)  Множество значений:   E (cos x ) = [ – 1 ,  1 ] . в)  Четность, нечетность:   функция четная.

    г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  T = 2 .

    д)  Нули функции:  cos x = 0  при   x =   +  n,   n   Z.

   е)  Промежутки знакопостоянства:

;   .

.      ж)  Промежутки монотонности:

;

.

      з)  Экстремумы:

;             .

     График функции    y= cos x   изображен на рисунке.

 Арккосинусом  числа   y   [– 1,  1]   называется  такая  дуга   x   [ 0 ,  ],  косинус  которой равен  y,  т.е.

 L  .

    Функция   x = arccos y   является  обратной  к  функции   y = cos x   на отрезке  x   [ 0,  ].       Для   исходной  и  обратной  функций  привычнее  аргументы  и  функцию   обозначать  одними  и  теми  же  буквами:    y = cos x,   y = arccos x.  График  функции    y = arccos x    приведен  на  рисунке.

 

9. Функция y=tgx, y=arctgx и их свойства.

y=tgx

а)  Область определения:   D (tg x) = R \ { /2 +   n( n   Z ) }.

    б)  Множество значений:   E (tg x ) = R . в)  Четность, нечетность:   функция нечетная.

    г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  T =  .

    д)  Нули функции:  tg x = 0  при   x =  n,   n   Z.

      е)  Промежутки знакопостоянства:

;        .

      ж)  Промежутки монотонности:  функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

      з)  Экстремумы:  нет.

   График функции   y = tg x   изображен на рисунке.

Арктангенсом  числа   y   R   называется   такая  дуга     ,   тангенс которой равен    y,   т.е.  L  .

     Функция   x = arctg y   явлется  обратной  к  функции,   y = tg x   на  интервале .    Для   исходной   и  обратной  функций   привычнее  аргументы  и  функцию   обозначать  одними  и  теми  же  буквами:   y = tg x,   y = arctg x. График  функции    y = arctg x    приведен  на  рисунке.

 

10. Функция y=ctgx, y=arcctgx и их свойства.

y=ctgx

 а)  Область определения:   D (ctg x) = R \ {  n( n   Z ) }.

    б)  Множество значений:   E (ctg x ) = R . в)  Четность, нечетность:   функция нечетная.

    г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  T =  .

    д)  Нули функции:  ctg x = 0  при   x =  /2 +  n,   n   Z.

    е)  Промежутки знакопостоянства ; ;        .

     ж)  Промежутки монотонности:  функция убывает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области  определения.

     з)  Экстремумы:  нет.

   График функции   y = ctg x  изображен на рисунке. 

Арккотангенсом  числа  y   R    называется  такая  дуга   x   [ 0 ,  ],  котангенс  которой  равен   y,   т.е.

 L  .

     Функция   x = arcctg y   является  обратной  функции  y =ctg x   на  интервале  x  (0,   ).       Для  исходной  и  обратной  функций  привычнее   аргументы  и   функцию  обозначать  одними   и   теми   же   буквами:   y = ctg x, y = arcctg x .  График  функции    y = arcctg x    приведен  на  рисунке.

11. Функция y=secx, y=cosecx и их свойства.

sec (–α) = sec α

cosec (–α) = – cosec α

sec (α + 2kπ) = sec α

cosec (α + 2kπ) = cosec α

Функция

Область определения

Множество значений

Четность

Участки монотонности (k = 0, ± 1, ± 2,…)

cosec x

x №  pk

(–Ґ, –1] И [+1, +Ґ)

нечетная

возрастает при x О ((4k + 1) p/2, (4k + 3) p/2), убывает приx О ((4k – 1) p /2, (4k + 1) p/2)