ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(государственный университет)

Метод Монте-Карло в моделировании стохастических полей с заданными спектральными характеристиками

Бакалаврская диссертация студента 964 группы ФАЛТ

Стерлинга Григория Григорьевича

Научный руководитель: Горелов Сергей Львович

Научный консультант: Жаров Владимир Алексеевич

Жуковский, 2010

1. Введение

В современной инженерии, промышленности и экологии становятся все более актуальны и важны задачи аэроакустики. Как некоторые из них можно выделить задачи распространения звуковых волн, причины появления звука и способы его подавления. В частности, уменьшение шума самолетных двигателей и задачи звукоизоляции.

В решении подобных инженерных задач на данный момент отдается предпочтение наиболее развитым экспериментальным методам; ввиду дороговизны и сложности численного моделирования, однако, некоторые специальные сложные физические условия (крайне низкие или высокие температуры, исследование шума в двигателях) могут сделать эксперимент крайне дорогим, сложным и неэффективным; в таких случаях приходится прибегать к вычислительным методам.

Численное решение задач аэроакустики основывается на уравнениях Навье-Стокса, Эйлера или их модификациях, продиктованных спецификой задачи. Целое семейство методов решений данных уравнений основано на усреднении, поэтому они становятся практически неприменимыми в некоторых задачах, так как, сглаживая, решения «стирают» информацию о высокочастотных волнах. Прямое численное моделирование остается не берущимся барьером для современных компьютеров, так как вычисления приходится выполнять на больших сетках с крайне мелким разрешением, что требует использования огромной памяти и скорости вычислений, пока технически недоступных. Собственно, поэтому, численное моделирование чаще применяется для калибровки более энергоэкономичных моделей, а не для решения прикладных инженерных задач.

Исходя из указанных выше трудностей, предлагается исследовать конкретно волновые аспекты задач. Внутренними источниками звука являются, очевидно, вихревые структуры и турбулентные возмущения среды. Однако, расчет звука, созданного турбулентностью, является чрезвычайно сложной задачей, не решенной до сих пор, несмотря на развивающиеся методы. Полное описание задачи распространения звуковых волны в турбулентной среде можно найти в [1, 2]. Мы же выпишем системы уравнений, описывающих данный процесс:

Где – потенциал звуковой волны, U – поле скоростей. Мы видим, что это уравнение отличается от обычного волнового уравнения стохастической правой частью, если поле U имеет смысл турбулентных пульсаций. Внешние волновые возмущения удобно рассматривать как стохастическое поле, отвечающее некоторым статистическим требованиям. Одним из подходов к моделированию таких полей является генерация поля с заданным спектром, соответствующим специфике данной задачи.

Использование случайных полей и сигналов, как и численное моделирование в целом, начинает играть все более важную роль в решении ряда инженерных задач и вычислительной физики. Однако это не является панацеей – возникающие в ходе решения стохастические дифференциальные уравнения крайне сложны для аналитического и численного решения. Для обхода таких трудностей используется метод Монте-Карло – вместо полной задачи со стохастическими величинами в уравнении решается некоторое конечное число детерминированных уравнений с реализациями случайного поля в правой части, а затем полученные решения подвергаются статистической обработке. Моделированию таких реализаций посвящена данная работа.

Вопрос моделирования полей стоит в науке достаточно давно, и первые практические работы начали появляться в 70-е годы [см. 2, 3], когда еще мощность компьютеров не позволяла без особых проблем получить практически полезные результаты. Число гармоник для расчетов в данных работах не превышало 100. В более поздних работах [4] их число увеличилось до 600, и дальнейшее увеличение числа гармоник не приводит к существенному увеличению точности. В данной работе были рассмотрены 10, 100 и 1000 бегущих волн.