30Вопрос.

Основанием позиционной системы счисления может быть не только число 10, но и вообще любое натуральное число р ³ 2.

Система счисления с основанием р называется р-ичной:

р = 2 – двоичная,

р = 8 – восьмеричная,

р = 10 – десятичная

Для записи чисел в системе с основанием р необходимо р символов: 0, 1, 2,..., р-1

Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде

х = а_n·10ⁿ + а_n-1·10^n-1 + …+ а₁·10 + а₀, (*)

где коэффициенты а_n, а_n-1, …, а₁, а₀ принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а_n ¹ 0

Записью числа х в системе счисления с основанием р называется его представление в виде

х = а_n·рⁿ + а_n-1·р^n-1 + …+ а₁·р + а₀, (**)

где коэффициенты а_n, а_n-1, …, а₁, а₀ принимают значения 0, 1, …, р - 1, а_n ¹ 0

31Вопрос.

Основанием позиционной системы счисления может быть не только число 10, но и вообще любое натуральное число р ³ 2.

Переход от записи числа в системе с основанием р к записи в десятичной системе

Пусть дана запись числа х в системе счисления с основанием р, т.е.

х = а_nрⁿ + а_n–1р^n–1 + ... + а₁р + а₀,

где числа а_n, а_n–1, ... а₁, а₀ и р представлены в десятичной системе счисления.

Выполнив над ними действия по правилам, принятым в десятичной системе счисления, получим десятичную запись числа х.

Число х делят (в десятичной системе) на р, остаток, полученный при делении, даст последнюю цифру а₀ в р–ичной записи числа х; неполное частное снова делим на р, новый остаток даст предпоследнюю цифру р–ичной записи числа х; продолжая деление, найдем все цифры р–ичной записи числа х

32 Вопрос.

Пусть даны натуральные числа а и b.

Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число с, что

а = b × с

Свойства отношения делимости

1. Отношение делимости рефлексивно,

т. е. любое натуральное число делится само на себя:

("аÎN) а M а

2. Любое целое неотрицательное число делится на 1 (или 1 является делителем любого целого неотрицательного числа):

("аÎN₀) а M 1

3. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т. е.

а M b Þ b £ а

4. Отношение делимости антисимметрично, т.е.

аMb, а ¹ b Þ bMа

5. Отношение делимости транзитивно, т.е.

а M b и b M с Þ а M с

6. Число 0 делится на любое число:

("bÎN) 0 M b

7. Число 0 не является делителем никакого натурального числа:

("аÎN)

Признак делимости на 2

Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8

Признак делимости на 5

Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0 или 5

33 Вопрос.

Теорема 1 (признак делимости суммы)

Если числа а и b делятся на с, то и их сумма делится на с:

а M с Ù b M с Þ (а + b) M с

Теорема 2. Если каждое из натуральных чисел а₁, а₂, ... ,а_n делится на натуральное число b, то и их сумма а₁ + а₂ + ... + а_n делится на это число

Пример: (63 + 81) M 9, так как 63 M 9 Ù 81 M 9

Пример: (63 + 81 + 45 + 18) M 9, так как

63 M 9 Ù 81 M 9 Ù 45 M 9Ù 18 M 9

34 вопрос. Теорема 3 (признак делимости разности)

Если числа а и b делятся на с и а > b, то их разность а – b делится на с:

а M с Ù b M с Ù а > b Þ (а - b) M с

Пример: (66 - 48) M 6, так как 66 M 6 Ù 48 M 6

Теорема 4. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся сумма на число b не делится.

Пример: (34 + 125 + 376 + 1024) не делится на 2, так как 34 M 2, 376 M 2, 124 M 2, но 125 не кратно 2