3 Теплопроводность при стационарном режиме

3.1. Теплопроводность через однослойную плоскую стенку

Рассмотрим однородную стенку толщиной (рис. 3.1), кoэффициeнт теплопроводности которой постоянен и равен λ. На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t₁ и t₂. Температура изменяется только в направлении оси х. В этом случае температурное поле одномерно, изотермические поверхности плоские и располагаются перпендикулярно оси х.

Рис. 3.1. Однородная плоская стенка

На расстоянии х выделим внутри стенки слой толщиной dx, ограниченный двумя изотермическими поверхностями. На основании закона Фурье для этого случая можно написать:

или (3.1)

Величина q при стационарном тепловом режиме постоянна в каждом сечении, поэтому

(3.2)

Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий, а именно при x=0 t=t₁=C, а при х=δ t=t₂. Подставляя эти значения в уравнение (3.2), имеем:

(3.3)

Из уравнения (3.2) определяется неизвестное значение удельного теплового потока q, а именно:

(3.4)

Следовательно, количество тепла, переданное через 1 м² стенки в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности λ и разности температур наружных поверхностей Δt и обратно пропорционально толщине стенки δ.

Уравнение (3.4) является расчетной формулой теплопроводности плоской стенки. Оно связывает между собой четыре величины: q, λ, δ

и Δt. Зная из них любые три, можно найти четвертую:

и (3.5)

Отношение λ/δ называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина δ/λ её тепловым или термическим сопротивлением. Последнее определяет падение температуры при прохождении через стенку теплового потока равного единице.

Если в уравнение (3.2) подставить найденные значения С и q, то получим уравнение температурной кривой

(3.6)

Последнее показывает, что при постоянном значении коэффициента теплопроводности температура плоской стенки изменяется по линейному закону.

3.2. Теплопроводность через многослойную плоскую стенку

Стенки, состоящие из нескольких разнородных слоёв, называются многослойными. Именно такими являются, например стены жилых домов, в которых на основном кирпичном слое с одной стороны имеется внутренняя штукатурка, с другой – внешняя облицовка.

Обмуровка печей, котлов и других тепловых устройств также обычно состоит из нескольких слоев. Пусть стенка состоит из трех разнородных, но плотно прилегающих друг к другу слоев (рис.3.2). Толщина первого слоя равна δ₁, второго – δ₂ и третьего δ₃. Соответственно коэффициенты тепло­проводности слоев равны λ₁, λ₂ и λ₃. Кроме того, известны температуры наружных поверхностей стенки t₁ и t₄. Тепловой контакт между поверхностями предполагается идеальным, температуру в местах контакта мы обозначим через t₂ и t₃.

При стационарном режиме удельный тепловой поток q постоянен и для всех слоев одинаков. Поэтому на основании (3.4) можно написать:

(3.7)

Из этих уравнений легко определить изменение температуры в каждом слое:

(3.8)

Сумма изменений температуры в каждом слое составляет полный температурный напор. Складывая левые и правые части системы уравнений (3.8), получаем:

t₁ - t₄ = q (δ₁ /λ₁ + δ₂ /λ₂ + δ₃ /λ₃). (3.9)

Из соотношения (3.9) определяется значение удельного теплового потока

(3.10)

Рис. 3.2. Многослойная плоская стенка

По аналогии с изложенным можно сразу написать расчётную формулу для n-слойной стенки

(3.11)

Так как каждое слагаемое знаменателя в (3.10) предствляет собой термическое сопротивление слоя, то из уравнения следует, что общее термическое сопротивление многослойной стенки равно сумме частных сопротивлений [уравнение (3.11)].

Если значение теплового потока из (3.10) подставить в (3.8), то получим значения неизвестных температур t₂ и t₃:

(3.12)

Внутри каждого слоя температурная кривая изменяется по прямой, но для многослойной стенки в целом она представляет собой ломаную линию (см. рис.3.2).

Рис. 3.3. Графический способ определения промежуточных температур t₂ и t₃

Значения неизвестных температур t₂ и t₃ многослойной стенки можно определить также графически (рис.3.3) При построении графика по оси абсцисс в любом масштабе, но в порядке расположения слоев откладываются значения их термических сопротивлений δ₁/λ₁, δ₂/λ₂ и δ₃/λ₃ и восстанавливаются перпендикуляры. На крайних из них также в произвольном, но одинаковом масштабе откладываются значения наружных температур t₁ и t₄. Полученные точки А и С соединяются прямой. Точки пересечения этой прямой со средними перпендикулярами дают значения искомых температур t₂ и t₃. При таком построении

Δ АВС ~ Δ ADE. Следовательно,

и

Подставляя значения отрезков, получаем:

Аналогичным образом доказывается, что

MN = q (δ₁ /λ₁ + δ₂ /λ₂) = t₁-t₃.