10.2. Расчёт нестационарной теплопроводности неограниченной плоской пластины

Представим себе однородную плоскую стенку теплопроводностью λ и толщиной 2δ, которая намного меньше ее площади поверхности (рис. 10.1).

В начальный момент времени все точки стенки имеют одинаковую температуру t_a а затем с обеих сторон стенка подвергается действию среды с постоянной температурой t₀. При t₀ < t_a стенка охлаждается и требуется найти закономерность распределения температуры в стенке для любого значения времени τ. При указанных условиях температура стенки будет изменяться только вдоль оси х, направленной нормально к ее поверхности, т. е. температурное поле будет одномерным и дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье (10.1) примет вид

(10.3)

При анализе уравнений (10.2) и (10.3) методами теории подобия оказывается, что переменные можно сгруппировать в три безразмерных комплекса:

(10.4)

Рис. 10.1. Распределение температуры при охлаждении плоской неограниченной стенки

Критерий Био – одна из основных относительных характеристик интенсивности теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. В самом деле, выражение для Bi может быть представлено равенством: Bi = α: λ/δ, из которого следует, что критерий Био является количественной мерой интенсивности теплоотдачи с поверхности тела α по сравнению с интенсивностью притока теплоты изнутри тела к его поверхности (тепловая проводимость стенки λ/δ).

Критерий Фурье называют критерием тепловой гомохронности. Он характеризует связь между скоростью изменения температурного поля, физическими параметрами и размерами тела.

Для ускорения расчетов по определению температур стенки при ее нагревании или охлаждении на практике пользуются обычно графо­аналитическим методом, сущность которого состоит в том, что расчетные формулы записывают в форме критериальных уравнений вида:

(17.14)

Здесь θ_α = |t_а – t₀| – модуль избыточной температуры стенки в начальный момент времени;

θ_s,τ = |t_s – t₀| – модуль избыточной температуры на поверхности пластины в момент времени τ;

Q_a – тепловой поток в начальный момент времени;

Q_τ – тепловой поток в момент времени τ.

При вычислении критериев Bi и F₀ при расчёте плоской пластины толщиной 2δ в качестве характерного размера применяют половину толщины пластины, т.е. 2δ/2 = δ.

Для выполнения расчётов применяют графики (рис. 10.2 и 10.3).

Рис. 10.2. Изменение функции θ_s,τ/θа=f(Bi, F₀) для плоской стенки

Рис. 10.3. Изменение функции Q_τ/Q_а= f(Bi, F₀) для плоской стенки

10.3. Метод конечных разностей

Рассмотренная выше задача относилась к телам простейших форм — плоской стенке, цилиндру и шару. В практических расчетах часто возникает необходимость решения задачи об охлаждении или нагревании тела сложной конфигурации. Аналитическое решение такой задачи, особенно когда температурное поле зависит от всех трех координат, невозможно из-за большой сложности. В таких случаях часто используют приближённые способы решения, из которых чаще всего применяют метод конечных разностей. Сущность этого метода заключается в том, что непрерывный процесс теплообмена заменяют скачкообразным как в пространстве, так и во времени. При этом дифференциальное уравнение теплопроводности (10.3) заменяют уравнением в конечных разностях, которое, например, при одномерном тем­пературном поле принимает вид

(10.5)

В применении к плоской стенке рассматриваемый метод состоит в следующем. Стенку делят на слои одинаковой толщины Δх (рис. 10.4), обозначаемые номерами (n – 1), n, (n + 1), (n + 2) и т. д. Время также разбивают на промежутки Δτ, обозначаемые номерами k, (k + 1), (k + 2) и т.д. В этом случае t_n,k или θ_n,k обозначает температуру в середине n - го слоя в течение k - го промежутка времени и кривую изменения температур изображают ломаной линией.

Рис. 10.4. Схема использования метода конечных разностей для пластины

Если промежутки времени Δτ и толщины слоёв Δx выбрать таким образом, чтобы 2аΔτ/Δx²=1, получаем

t_n,k+1 = (t_n+1,k + t_n-1,k) / 2. (10.6)

Уравнение (10.6) показывает, что t_n,k+1 является среднеарифмети­ческим из t_n+1,k и t_n-1,k. Значение промежутка времени Δτ определяют из соотношения

Δτ = Δx²/(2а). (10.7)

Толщину слоев Δх при решении конкретных задач выбирают такой, чтобы она была удобна для графического построения. Зная начальное распределение температур по толщине слоев стенки и определив указанным методом распределение температур через промежуток времени Δτ, повторяют построение для следующего интервала времени, для которого начальным распределением температур служит их значение найденное перед этим, и т. д.