8.4. Лучистый теплообмен между телами, разделёнными прозрачной средой

Зная законы излучения, поглощения и отражения, а также зависимость излучения от направления, можно вывести расчетные формулы для лучистого теплообмена между непрозрачными телами.

В теплотехнических же расчетах обычно требуется рассчитать лучистый теплообмен между телами, качество поверхности, размеры и температура которых известны. По этим данным энергия излучения обоих тел всегда может быть определена на основании закона Стефана – Больцмана. В этом случае задача сводится к учету влияния формы и размеров тел, их взаимного расположения, расстояния между ними и их степени черноты.

Явление лучистого теплообмена — это сложный процесс многократных затухающих поглощений и отражений. Часть энергии, будучи излучена, вновь возвращается на первоисточник, тормозя этим процесс теплообмена. В качестве примера рассмотрим круговорот лучистой энергии в простейшем случае теплообмена между двумя параллельными поверхностями, спектр излучения которых является серым. Температура, излучательная и поглощательная способности этих поверхностей соответственно равны Т₁, Е₁, А₁, Т₂, Е₂, и А₂.

Первая поверхность излучает лучистую энергию, равную Е₁.

Из этого количества вторая поверхность поглощает E₁A₂ и обратно отражает E₁(1–A₂). Из этого первая поверхность поглощает Е₁(l–A₂)A₁ и отражает Е₁(1–А₂)(1–А₁).

Вторая поверхность снова поглощает Е₁(1–А₂)(1–А₁)А₂ и отражает Е₁(1-А₂)²(1-А₁), из этого количества первая снова поглощает Е₁(1–А₂)² · (1–А₁)А₁… и т. д. до бесконечности.

Точно такие же рассуждения можно провести и по отношению к излучению второй поверхности, а именно: вторая поверхность излучает Е₂; из этого количества первая поглощает Е₂А₁ и отражает E₂(l–A₁) и т.д. Схема рассматриваемого процесса графически изображена на рис.8.8.

Лучистый теплообмен между поверхностями определяется разностью потоков эффективного излучения

q = Е_1эфф – Е_2эфф , (8.24)

где

. (8.25)

Рис. 8.8. Схема лучистого теплообмена между плоскими параллельными поверхностями

Решая систему (8.25) относительно Е_1эфф и Е_2эфф, получаем:

(8.26)

. (8.27)

Подставляя (8.26) и (8.27) в(8.24) имеем:

(8.28)

Для серых тел равенство поглощательной способности и степени черноты

А₁=ε₁, А₂=ε₂ (8.29)

имеет место не только при температурном равновесии (закон Кирхгофа), но и в условиях лучистого теплообмена, когда T₁≠Т₂. Поэтому, если подставить в (8.28) выражения

Е₁=ε₁с₀(Т₁/100)⁴ и Е₂=ε₂с₀(Т₂/100)⁴

и учесть условие (8.29), можно получить после преобразований соотношение

(8.30)

где

(8.31)

и – степени черноты поверхностей.

Это и есть расчетная формула для лучистого теплообмена между параллельными серыми плоскостями. Коэффициент ε_П называется приведенной степенью черноты системы тел между которыми происходит процесс лучистого теплообмена, величина ε_П может изменяться от 0 до 1.

В технике часто приходится решать задачи теплообмена излучением, когда одно тело находится внутри другого (рис. 8.9). Поверхность внутреннего тела выпуклая; внутренняя поверхность внешнего тела вогнутая.

Рис. 8.9. Схема лучистого теплообмена между телами в замкнутом пространстве

Обозначим величины внутреннего тела через А₁, С₁, ε₁, T₁, F₁ и внешнего – А₂, С₂, ε₂, Т₂ F₂. В отличие от теплообмена между параллельными пластинами в данном случае на внутреннее тело падает лишь часть φ от эффективного излучения внешнего тела. Остальная часть энергии излучения (1 — φ) падает на поверхность внешнего тела.

Эффективное излучение внутреннего тела состоит из собственного излучения и отраженного, полученного от внешнего тела:

Е_1эф=Е₁ ·F₁+(1-А₁) φЕ_2эф. (8.31)

Эффективное излучение внешнего тела состоит из собственного из собственного излучения, и излучения отражённого от внутреннего тела, и отраженного собственного излучения:

Е_2эф = Е₂F₂ + (1-А₂ )Е_1эф + (1-А2)(1- φ) Е_2эф . (8.32)

Величина теплообмена излучением между телами равна

Q = E_1эф – Е_2эф. (8.33)

Решая совместно уравнения (8.31) и (8.32) и подставляя Е_1эф и Е_2эф в последнее уравнение (8.33) получаем

(8.34)

Обозначим величину через С_пр.

Тогда теплообмен излучением между телами, когда одно из них находится внутри другого, определяется уравнением

(8.35)

Если вместо С_пр в расчете применить приведенную степень черноты системы тел, то уравнение теплообмена излучением имеет следующий вид:

(8.36)

Если поверхность F₁ мала по сравнению с поверхностью F₂, то отно­шение F₁/F₂ приближается к нулю и С_пр=С₁, а уравнение теплообмена принимает вид

, (8.37)

т.е. как для двух параллельных поверхностей.

Для общих случаев расположения тел, имеющих произвольную форму, аналитическое решение задачи по определению количества теплоты, переданной излучением, получается очень сложным и может быть доведено до конца лишь для отдельных простых случаев и то при ряде упрощений. Поэтому для большинства практических задач возможны лишь приближенные решения, методика получения которых основывается на использовании расчетной формулы того же вида, что в рассмотренных частных случаях:

, (8.38)

где ε_П=ε₁·ε₂ – приведённая степень черноты системы, определяется без учета вторичных и последующих отражений лучей, что дает несколько заниженное значение приведенного коэффициента излучения по сравнению с истинным его значением. Однако при степени черноты ε≥0,8, которую имеет большинство технических материалов, ошибка получается незначительной. Величина F₁₂ представляет собой эффективную или взаимную лучевоспринимающую поверхность. Значение её зависит только от формы и расположения тел, и она всегда меньше площади поверхностей F₁ и F₂. Отношение F₁₂ к одной из этих поверхностей, например называется угловым коэффициентом, или коэффициентом облученности второго тела от первого, и обозначается φ₁₂. Для практически важных случаев взаимного расположения тел значения величин F₁₂ или φ₁₂ вычисляют заранее и дают в виде таблиц или графиков.