4.2. Дифференциальные уравнения теплоотдачи

В процессе конвективного переноса теплоты характер течения жидкости имеет очень большое значение, так как им определяется ме­ханизм теплоотдачи. Процесс переноса теплоты на границе с поверх­ностью канала может быть выражен законом Фурье

(4.9)

где n — нормаль к поверхности тела.

Это же количество теплоты можно выразить уравнением Ньютона – Рихмана

(4.10)

.

Приравнивая эти уравнения, получим

(4.11)

,

или

(4.12)

.

Дифференциальное уравнение (4.12) описывает процесс теплообме­на на поверхности канала (n = 0).

Уравнение (4.4) показывает, что коэффициент теплоотдачи — величина сложная и для ее определения невозможно дать общую фор­мулу. Обычно для определения приходится прибегать к опытным исследованиям.

Применяя общие законы физики, можно составить дифференциаль­ные уравнения для конвективного теплообмена, учитывающие как теп­ловые, так и динамические явления в любом процессе.

Система дифференциальных уравнений состоит из уравнений энер­гии (или теплопроводности), теплообмена, движения и сплошности.

Дифференциальное уравнение энергии ус­танавливает связь между пространственным и временным изменением температуры в любой точке движущейся жидкости:

(4.13)

Если = 0, уравнение энергии переходит в уравне­ние теплопроводности для твердых тел (если отсутствуют внутренние источники теплоты).

Дифференциальное уравнение теплооб­мена выражает условия теплообмена на границе твердого тела и жидкости:

(4.14)

.

Дифференциальное уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости представлено уравнением Навье-Стокса:

для оси x

д

(4.15)

ля оси y

для оси z

Это уравнение справедливо для ламинарного и турбулентного движений. В последнем случае w представляет собой действительную (мгновенную) скорость, равную сумме средней и пульсационной ско­ростей.

Дифференциальное уравнение сплошности, или непрерывности, для сжимаемых жидкостей имеет вид

(4.16)

.

Для несжимаемых жидкостей при уравнение сплошно­сти принимает вид

(4.17)

Вывод всех дифференциальных уравнений (4.13) — (4.17) тре­бует громоздких математических выкладок и приводится в специаль­ных курсах гидродинамики и теплопередачи.

4.3. Краевые условия.

Система дифференциальных урав­нений для процессов конвективного теплообмена охватывает бес­численное множество процессов теплоотдачи, которые описывают­ся этими уравнениями, но вместе с тем каждый из них отличается от других некоторыми частностями. Чтобы ограничить задачу и из бесчисленного множества выделить рассматриваемый процесс и определить его однозначно, т.е. дать полное математическое опи­сание, к системе дифференциальных уравнений необходимо присо­единить еще математическое описание всех частных особенностей, которые называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности состоят из:

геометрических условий, характеризующих форму и размеры системы, в которой протекает процесс;

физических условий, характеризующих физические свойства среды и тела;

граничных условий, характеризующих особенности протекания процесса на границах тела;

временных условий, характеризующих особенности протекания процесса во времени.

Когда условия однозначности для какого-либо конкретного случая заданы, то они вместе с системой дифференциальных урав­нений составляют математическое описание данного процесса. Тем самым после решения системы уравнений можно получить полное описание процесса во всех деталях: поля температур, скоростей, давлений и т. д.

Условия однозначности могут быть заданы в виде числовых значений, в виде функциональных зависимостей или в табличной форме. Пусть, например, рассматривается случай теплоотдачи при движении жидкости в трубе. В этом случае могут быть заданы та­кие условия однозначности:

1. Труба круглая, гладкая, внутренний диаметр трубы d и дли­на l.

2. Рабочим телом, т. е. теплоносителем, является вода, кото­рая несжимаема, ее физические свойства равны: λ (t), c (t), μ (t) и ρ (t). Если же зависимостью физических свойств от температуры можно пренебречь, тогда они задаются просто в виде числовых значений λ, с, μ, и ρ.

3. Температура жидкости на входе равна t^'_ж, а на поверхности трубы t_c. Скорость на входе равна w, а у самой стенки w = 0. Если же температура и скорость на входе не постоянны, то должен быть задан закон их распределения по сечению.

4. Для стационарных процессов временные условия однознач­ности отпадают.

Итак, математическое описание процесса теплоотдачи состоит из: 1) уравнения теплопроводности; 2) уравнения движения; 3) уравнения сплошности; 4) уравнения теплообмена и условий од­нозначности.

К настоящему времени аналитические решения системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена получены лишь для ограниченного числа простейших задач при введении тех или иных упрощающих допущений. Такое положение объяс­няется большой сложностью уравнений или в конечном счете слож­ностью и многогранностью содержания самих процессов.

Вследствие ограниченности возможностей аналитического ре­шения приведенных выше дифференциальных уравнений большое значение в изучении процессов теплоотдачи приобретает экспери­мент. Экспериментальное изучение сложных процессов, зависящих от большого числа отдельных факторов, само по себе является трудным делом. Кроме того, при постановке эксперимента, помимо подробного изучения рассматриваемого процесса, обычно всегда ставится также задача получить данные для расчета других про­цессов, родственных изучаемому.

Следовательно, если недостатком экспериментального метода ис­следования является невозможность распространения результатов, полученных в данном опыте, на другие явления, отличающиеся от изученного, то недостатком математической физики является невоз­можность перейти от класса явлений, характеризуемых дифференциаль­ными уравнениями и условиями однозначности, к единичному конкрет­ному явлению. Каждый из этих методов в отдельности не может быть эффективно использован для решения практических задач.

Если положительные стороны математического и эксперименталь­ного методов исследования объединить в одно целое, то можно полу­чить универсальный аппарат для изучения различных явлений при­роды. Такое объединение обоих методов осуществляется теорией подобия.