Вопрос 14. Понятие о линейном дифференциальном операторе n-го порядка

   Для упрощения дальнейшего изложения обозначим левую часть линейного уравнения (10.1) через L(y):

            L(y) ≡ y ⁽ⁿ⁾ + p₁ (x) y ^{(n – 1)} + … + p_{n – 1} (x) y ' + p_n (x) y.       (10.3)

   Таким образом, L(y) есть результат выполнения над функцией y операций, указанных в правой части формулы (10.3), а именно: вычисление производных от функции y вплоть до порядка т включительно, умножение y₀,  , …,  ,   на заданные функции p₁, …, p_n, 1 и сложение полученных произведений. Совокупность этих операций обозначим символом L:

            L ≡   + p₁ (x)   + p_{n – 1} (x)   + p_n (x)

и будем называть его линейным дифференциальным оператором n-го порядка. В частности, линейный дифференциальный оператор второго порядка имеет вид

            L ≡   + p₁ (x)   + p₂ (x). 

   Линейный дифференциальный оператор L обладает следующими основными свойствами (линейность оператора L):

1) постоянный множитель можно выносить за знак оператора

            L(ky)=kL(y);

2) оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций

            L(y₁ + y₂) = L(y₁) + L(y₂).

   Из этих основных свойств оператора L следует, что

            L  C_k y_k  =   C_k L(y_k).

т. е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации операторов от этих функций.

   Используя оператор L, можно записать неоднородное и однородное линейные уравнения (10.1) и (10.2) соответственно в виде

            L(y) = f (x)       (10.4)

и

            L(y) = 0.       (10.5)

   Если функция y = y(x) является решением уравнения (10.4) или (10.5) в некотором интервале (a, b), то значение оператора L от этой функции равно f (x) или нулю при всех x из (a,b):

            L(y(x)) ≡ f (x) (a < x < b)

или

            L(y(x)) ≡ 0 (a < x < b). 

1. Решить дифференциальное уравнение  . Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение будем искать в виде  .

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения  . Его характеристическое уравнение имеет вид  , корни которого равны   и  , следовательно, общее решение имеет вид  .

Частное решение заданного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид, соответствующий правой части, т.е.  . Тогда  ; . Подставим в заданное дифференциальное уравнение  . Приравнивая коэффициенты в правой и левой частях при x в первой степени и при  , т.е. свободные члены мы получим систему, из которой найдем численные значения А и В.

          .

Т.е. частное решение имеет вид  . Таким образом решение исходного неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид  .

Свойства решений однородного линейного уравнения

   Ниже увидим, что знание частных решений однородного линейного уравнения значительно облегчает (а иногда позволяет до конца решить задачу полного интегрирования этого уравнения) построение общего решения. Это оказывается возможным благодаря тому, что частные решения однородного уравнения обладают следующими замечательными свойствами:

Если y₁ = y₁ (x) — частное решение однородного линейного уравнения L(y) = 0, то

            y = Cy₁,

где C — произвольная постоянная, тоже является решением этого уравнения.

Таким образом, зная одно частное решение, можем (без квадратур!) получить целое (однопараметрическое) семейство решений.

Это свойство иногда выражают так: решение однородного линейного уравнения определяется с точностью до постоянного множителя.

Если y₁ = y₁ (x) и y₂ = y₂ (x) — частные решения однородного уравнения L(y) = 0, то их сумма

            y = y₁ + y₂

тоже является решением этого уравнения.

Наличие свойств 1 и 2 говорит о том, что множество решений однородного линейного уравнения является линейным пространством.

Если y₁, y₂, …, y_m — частные решения уравнения L(y) = 0, то

            y =  C_ky_k,

где C₁, C₂, …, C_m — произвольные постоянные, тоже является решением этого уравнения.

ВОПРОС16.  Решить дифференциальное уравнение – это значит найти множество решений, которое удовлетворяет данному уравнению. Такое множество решений, напоминаю, называется общим интегралом или общим решением дифференциального уравнения.

Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид: , где   и   – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: , где   и   – константы, а   – функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае функция   может быть числом, отличным от нуля.

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение:

1). Если характеристическое уравнение   имеет два различных действительных корня  ,   (т.е., если дискриминант  ), то общее решение однородного уравнения выглядит так:  , где   – константы.

2). В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; , тогда общее решение:  .

3). Если характеристическое уравнение   имеет два кратных (совпавших) действительных корня   (дискриминант  ), то общее решение однородного уравнения принимает вид:  , где   – константы. Если оба корня равны нулю  , то общее решение опять же упрощается:  . Кстати,   является общим решением того самого примитивного уравнения  , о котором я упоминал в начале урока. Почему? Составим характеристическое уравнение:   – действительно, данное уравнение как раз и имеет совпавшие нулевые корни  .

4). Если характеристическое уравнение  имеет сопряженные комплексные корни  (дискриминант  ), то общее решение однородного уравнения принимает вид:  , где   – константы. 5). Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни:  , то общее решение упрощается: