Вопрос12. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Для неразрешенного относительно производной дифференциальное уравнения 1-го порядка имеет вид

или для разрешенного относительно 

Рассмотрим пример y^''' = cos x.

Общее решение имеет вид .

Найти общее решение уравнения 

где С - произвольная постоянная. Если придадим С конкретные числовые значения, то получим частные решения, например,

 

Дифференциальное уравнение вида  y' = f (x) g ( y)  или  M(x) N( y) dx + P(x) Q ( y) dy = 0  называется уравнением с разделяющимися переменными.

   Можно сделать преобразование так, чтобы в одной части была одна переменная, в другой — другая.

              dx +   dy = 0,

где   dx — дифференциал некоторой функции от x,

 dy — дифференциал некоторой функции от y.

   Общий интеграл, выраженный в квадратурах:

                dx +     dy = C.

   Частный интеграл, удовлетворяющий условию   = y₀, выражается

                dx +     dy = 0.

   Если работать с уравнением y' = f (x) g ( y), то   = f (x) dx — уравнение с разделенными переменными.

Уравнения, однородные относительно переменных

   Функция f (x, y) называется однородной функцией степени n относительно переменных x и y, если при любом допустимом t справедливо тождество f (tx, ty) ≡ tⁿ f (x, y).

   Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным относительно переменных x и y, если функция f (x, y) есть однородная функция нулевой степени относительно переменных x и y.

Вопрос 13. Если переменные разделить не удалось, и уравнение однородным не является, то в 90% случаев перед вами как раз линейное неоднородное уравнение первого порядка. Уравнение называется линейным, если его можно записать в следующем виде:  , где   и   - произвольные функции от  .

 - линейное уравнение без правой части.

   

Два метода решения линейных уравнений:

Метод Бернулли

Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной)

Метод Бернулли: замена неизвестной функции y(x) на произведение двух неизвестных функций 

Выберем   так, чтобы  .

Метод Лагранжа:

 - уравнение без правой части.

 (2)

 - удовлетворяет уравнению (2).

Пример:

1)

2)

 

Вопрос 15. Метод вариации произвольных постоянных.

   Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) для уравнения второго порядка

   Пусть дано неоднородное линейное уравнение второго порядка

            L(y) ≡ y'' + p(x)y' + q(x)y = f (x),       (15.1)

где коэффициенты p(x), q(x) и правая часть f (x) есть функции от x, непрерывные в некотором интервале (a, b).

   Рассмотрим наряду с уравнением (15.1) соответствующее ему однородное уравнение

            L(y) ≡ z'' + p(x)z' + q(x)z = 0       (15.2)

   Пусть z₁, z₂ — фундаментальная система решений уравнения (15.2), так что

            L(z₁) ≡ 0, L(z₂) ≡ 0       (15.3)

и

            W(x) =   ≠ 0       (15.4)

   Тогда, как известно, общее решение уравнения (15.3) имеет вид

            z = C₁z₁ + C₂z₂,

где C₁ и C₂ — произвольные постоянные.

   Будем искать решение уравнения (15.1) в виде

            z = C₁(x)z₁ + C₂(x)z₂,       (15.5)

где C₁(x) и C₂(x) — некоторые функции от x, подлежащие определению.

   Подставляя (15.5) в уравнение (15.1), получим одно условие, которому должны удовлетворять две неизвестные функции — C₁(x) и C₂(x). Это условие будет иметь вид

            L(C₁(x)z₁ + C₂(x)z₂) = f (x).       (15.6)

   Оно содержит производные второго порядка от искомых функций C₁(x) и C₂(x), так что на первый взгляд задача усложнилась: вместо уравнения второго порядка (15.1) с одной неизвестной функцией y мы получили уравнение того же порядка, но уже с двумя неизвестными функциями — C₁(x) и C₂(x). Однако мы покажем, что искомые функции можно подчинить такому дополнительному условию, что в уравнение (15.6) не войдут производные второго порядка от этих функций.

   Дифференцируя обе части равенства (15.5), имеем y' = C₁(x)  + C₂(x)  +  (x)z₁ +  (x)z₂.

   Чтобы при вычислении y'' не появились производные второго порядка от C₁(x) и C₂(x), положим

             (x)z₁ +  (x)z₂ = 0.

   Это и есть то дополнительное условие на искомые функции C₁(x) и C₂(x), о котором говорилось выше. При этом условии выражение для y' примет вид

            y' = C₁(x)  + C₂(x) .       (15.7)

   Вычисляя теперь y'', получим

            y'' = C₁(x)  + C₂(x)  +  (x)  +  (x) .       (15.8)

   Подставим выражения для y, y' и y'' из формул (15.5), (15.7) и (15.8) в уравнение (15.1). Для этого умножим левые и правые части этих формул соответственно на q, p и 1, сложим почленно и приравняем сумму правой части уравнения (15.1). Получим

            C₁(x)L(z₁) + C₁(x)L(z₂) +  (x)  +  (x)  = f (x).

   Здесь в силу (15.3) первые два слагаемых равны нулю, поэтому

             (x)  +  (x)  = f (x).

   Это и есть новый вид условия (15.6). Теперь оно уже не содержит производных второго порядка от C₁(x) и C₂(x).

   Таким образом мы получили систему дифференциальных уравнений

            

   Эта система в силу (15.4) однозначно разрешима относительно  (x) и  (x). Решая ее, получим

             (x) = φ₁(x) и  (x) = φ₂(x),

где φ₁(x) и φ₂(x) суть вполне определенные функции от x. Их можно найти, например, по правилу Крамера. При этом, так как z₁, z₂,   и   непрерывны в интервале (a, b), то в силу(15.4) функции φ₁(x) и φ₂(x) будут непрерывны в интервале (a, b). Поэтому

            C₁(x) =  φ₁(x)dx + C₁,   C₂(x) =  φ₂(x)dx + C₂,

где C₁ и C₂ — произвольные постоянные.

   Подставляя найденные значения функций C₁(x) и C₂(x) в формулу (15.5), получим

            y = z₁ φ₁(x)dx + z₂ φ₂(x)dx + C₁z₁ + C₂z₂.       (15.9)

   Полагая здесь C₁ = C₂ = 0, получим частное решение

            y₁ = z₁ φ₁(x)dx + z₂ φ₂(x)dx

так что формулу (15.9) можно записать в виде

            y = y₁ + C₁z₁ + C₂z₂,

откуда в силу теоремы о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения следует, что формула (15.9) дает общее решение уравнения (15.1). Все решения, входящие в формулу (15.9), заведомо определены в интервале (a, b).