- •Квадратный корень, функция
- •2.Предел функции.
- •3.Основные теоремы о пределах.
- •4.Непрерывность функции в точке и на интервале.
- •5.Производная и дифференциал.
- •6. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •7.Функции нескольких переменных и их непрерывность.
- •8. Производные функции нескольких переменных
- •9. Дифференциалы функции нескольких переменных.
- •10. Поиск экстремума функции одной переменной.
- •11. Поиск экстремума функции двух переменных.
- •12. Неопределенный интеграл, основные теоремы.
- •Свойства неопределённого интеграла:
- •13.Интегрирование подстановкой.
- •15. Интегрирование рациональных функций.
- •16. Определенный интеграл, основные теоремы.
- •17. Понятие о дифференциальном уравнении: его порядке, общем и частном решении.
- •18. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными.
- •19. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Понятие общего решения линейного уравнения.
- •20. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •21. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
- •22. Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда. Свойства сходящихся числовых рядов. Необходимое условие сходимости ряда.
- •23.Предельный признак сравнения. Признак Даламбера.
- •24.Знакопеременный ряд. Абсолютная и условная сходимость.
- •25.Степенные ряды. Теорема Абеля.
- •26. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора.
- •27. Функции спроса и предложения.
- •28.Функция полезности. Кривые безразличия.
9. Дифференциалы функции нескольких переменных.
Пусть Z=f(u,v) – ф-ия двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, яв-ся ф-ей независимых переменных х и у: U=U(x,y) V=V(x,y). тогда Z=f(u(x,y), v(x,y)) = F(x,y) – сложная ф-ия от двух независимых переменных х и у, а u и v промежуточные переменные.
10. Поиск экстремума функции одной переменной.
Точка х0наз-ся точкой минимума ф-ии f(x), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x)≥f(x0)
Точка х1 наз-ся точкой максимума ф-ии f(x).если в некоторой окрестности точки х1, вып-ся неравенство f(x)≤f(x1)
Значение ф-ии в точках х0 и х1 наз-ся соответственно максимумом и минимумом ф-ии. Максимум и минимум ф-ии объедини-ся общим названием экстремума ф-ии.
Необходимое и достаточное условие экстремума
Т. (ноебх.усл.экстр.) Для того чтобы фун-ия y=f(x)имела экстремум в точке х0,необходимо, чтобы её производная в этой точке ровнялась нулю (f`(x0)=0) или не существовала.
Точки в которых выполнено необходимое условие экс-ма,т.е. производная равна нулю или не существует, наз-ся стационарными. Обращаем внимание на то что эти точки должны входить в область определения ф-ии.
Т2. (достаточн.усл.сущ.экстр) Если при переходе через точку х0, производная дифференцируемой ф-ии меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0, есть точка максимума ф-ии y=f(x), а если с минуса на плюс, то точка минимума ф-ии.
Схема исследования ф-ии на экстремум:
1. Найти производную
2. Найти стационарные точки ф-ии, в кот-х производная f`(х)=0 или не сущ-ет.
3. Исследовать знак производной слева и справа от каж-й стац-й точки и сделать вывод о наличии экстремумов ф-ии.
4. Найти экстремумы (экстемальные знач-я) ф-ии.
11. Поиск экстремума функции двух переменных.
Точка М0 (х0;у0) наз-ся точкой максимума (минимума) ф-ии z=f(х;у) если сущ-ет окрестность точки М такая, что для всех точек (х;у) из этой окрестности выполняется нер-во: f(x0;y0)≥ f(х;у); f(x0;y0)≤ f(х;у)
Т.(необх.усл.экстр.) Пусть точка М0 (х0;у0) – есть точка экстремума, дифференцируемой ф-ии z=f(х;у). Тогда частные производные zx и zy в этой точке равны нулю
Если частные производные и сами яв-ся дифференцируемыми фун-ми то можно найти такие и их частные производные,которые наз-ся частными производными второго порядка (f`xx, f`xy, f`yx, f`yy)
Т. (достат.усл.экстр.) Пусть ф-ия z=f(x;y):
1. Определена в некоторой окрестности стационарной точки (x0;y0) в которой z`x=0 и z`y=0
2. Имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка f`xx (x0; y0) = A,
f`xy(x0; y0) = f`yx(x0; y0) = B и f`yy(x0; y0) =C
Тогда если =АС-В2˃0, то в точке (x0; y0) ф-ия имеет экстремум, причём если А<0 – максимум, если А˃0 – минимум. В случае =АС-В2<0 ф-ия экстремума не имеет.
Если = АС-В2=0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
Схема исследования ф-ий двух переменных на наличие экстремума:
1. Найти частные производные z`x и z`y
2. Решить систему уравнений z`x=0 и z`y=0 и найти стационарные точки ф-ии.
3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значение в каждой стационарной точек и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов