3.2. Анализ точности изделий методами математической статистики

Отклонение от размера является важнейшим показателем качества детали и всего изделия. Оценка качества путем определения фактических размеров занимает в технологии машиностроения ведущее место. В случае изготовления единичной детали или изделия размер и допустимые отклонения определяют непосредственным измерением. При изготовлении изделий сравнительно большими партиями на предварительно настроенным станках измерение каждой детали, тем более по многим параметрам, не представляется возможным. Для анализа точности в этом случае используют аппарат математической статистики.

Аппарат математической статистики может быть применен, если исследователь имеет дело с массовым явлением. Процент положительных результатов в данной массовой операции называют вероятностью. В таких явлениях наблюдается рассеяние параметров. Например, обработка на предварительно настроенном станке партии заготовок в автоматическом режиме, т. е. без участия рабочего в каждом цикле работы станка, обязательно приведет к рассеянию размеров. Это объясняется одновременным воздействием на технологическую систему большого количества факторов.

Погрешности разделяют на случайные, систематические, но закономерно изменяющиеся, и постоянные. Случайные погрешности возникают при изготовлении конкретной детали в результате каждый раз особой компоновки большого числа факторов, действующих на технологическую систему. Систематические погрешности могут возникнуть, например, вследствие изнашивания режущего инструмента или возникновения тепловых деформаций технологической системы до достижения ею состояния теплового равновесия. Постоянные погрешности проявляются в одинаковой мере при изготовлении каждой детали или изделия. Примером может быть любая геометрическая погрешность металлорежущего оборудования.

Вероятностный подход к явлениям позволяет осуществлять прогнозы, очень полезные для производства. Предположим, что на некотором заводе при изготовлении 1000 деталей 1,5% из них оказались бракованными. Если не изменить общие условия обработки, то во второй тысяче деталей будет примерно этот же процент брака. Этот процент каждый раз будет колебаться вокруг цифры 1,5. Поэтому можно сделать прогноз о браке и в том случае, когда обработку еще не проводили.

Процесс рассеяния параметров качества, в частности размеров, наилучшим образом характеризуется полигоном распределения. Его легко можно построить для любого массового явления. Все детали (т. е. совокупность измерений) по результатам измерений разбивают на группы. При этом необходимо выполнить условие, чтобы точность измерений не была ниже 0,1 допуска на исследуемый параметр. В каждую группу входят значения, которые находятся в определенных, выбранных интервалах. Обычно принимают порядка десяти интервалов. Их откладывают на оси абсцисс. Число измерений, попавших в данный интервал, откладывают по оси ординат. После соединения полученных точек получают ломаную линию, которая и является полигоном распределения.

Рис. 3.4. Полигон распределения

Предположим, что по условиям измерений получены данные, представленные в табл. 3.1. Все измеренные размеры разбиты на 12 интервалов с шагом 0,01 мм. Всего измерено п деталей (в данном случае – 52 детали), в каждый же интервал попало т деталей. По оси ординат можно откладывать как n, так и отношение т/п, называемое частостью. Полигон распределения размеров показан на рис. 3.4. Наибольшее число деталей приходится на интервал, расположенный ближе к середине всего диапазона измеренных размеров. Если увеличивать число деталей в партии интервалы измерений делать более узкими, а число интервалов увеличивать, то ломаная кривая полигона распределения приблизится к плавной. В качестве приближенной меры точности размеров всех выполненных деталей может служить поле рассеяния. Чем уже поле рассеяния, тем с большей точностью выполнена партия деталей.

Таблица 3.1. Результаты измерения деталей

Интервал размеров	m	Интервал размеров	m	Интервал размеров	m
31,74 – 31,75	2	31,78 – 31,79	4	31,82 – 31,83	7
31,75 – 31,76	1	31,79 – 31,80	7	31,83 – 31,84	4
31,76 – 31,77	2	31,80 – 31,81	8	31,84 – 31,85	3
31,77 – 31,78	2	31,81 – 31,82	10	31,85 – 31,86	2

В технологии машиностроения чаще всего встречается так называемое нормальное распределение. Такое распределение подчиняется нормальному закону, или закону Гаусса, графическое изображение которого представлено на рис. 3.5. Кривая нормального распределения симметрична, имеет перегиб в точках 1 и 2, ось абсцисс является для нее асимптотой. Такая кривая характеризует технологические процессы, у которых все случайные величины, определяющие конечный результат, слабо влияют друг на друга, а действие каждой случайной величины относительно мало по сравнению с их суммарным действием. Закон удовлетворительно описывает рассеяние размеров деталей на предварительно настроенных станках, массу заготовок и деталей машин, твердость материала, высоту микронеровностей поверхностей. Во многих случаях закон нормального распределения в идеальном виде не наблюдается. На практике приходится наблюдать некоторые отклонения от него. Тем не менее, закон нормального определения оказывается очень удобным для описания рассеяния параметров, а возникающие на практике отклонения можно регламентировать.

Для того чтобы осмысленно использовать на практике анализ точности с помощью математической статистики, необходимо в общем виде математически описать кривую нормального распределения. С учетом приведенных на рис. 3.5 данных, уравнение кривой имеет вид

,

где σ – среднее квадратическое отклонение; е – основание натурального логарифма; а – значение абсциссы, при котором ордината достигает максимума.

Рис. 3.5. Кривая нормального распределения

Величина а является средним арифметическим и одновременно центром распределения или центром группирования. При х = а

.

Точки 1 и 2 перегиба кривой находятся на расстоянии σ от оси симметрии. Их ординаты равны

Как форму кривой распределения, так и точность характеризует значение σ: чем оно больше, тем ниже точность. На рис. 3.6 представлены кривые нормального распределения, характеризующие различные этапы обработки партии валов на предварительно настроенном станке. Значение σ₁, соответствует черновой обработке, σ₂ – чистовой, σ₃ – окончательной обработке. Очевидно, что σ₁ > σ₂ > σ₃. С каждым более точным этапом обработки значение σ должно уменьшаться (сокращается поле рассеяния). Если этого не происходит, данный технологический процесс применять не следует. Также должны изменяться и значения x₁, x₂, x₃.

Рис. 3.6. Изменение формы кривой распределения

Значение σ определяют по результатам измерений:

, (3.1)

где n – число произведенных измерений; х_i, – значение текущего измерения; – среднее арифметическое значение произведенных измерений,

Значения σ и вычисляют, как правило, с помощью ручных калькуляторов. Число измерений рекомендуется брать равным 50 и более. При п = 50 погрешность определения σ составляет + 10%, при п = 25 она возрастает до + 15%.

Предположим, что на параметр (например, размер) детали установлен допуск IT, ограниченный размерами х₁ и х₂ (см. рис. 3.5). Верхнее и нижнее отклонения даны от центра группирования. Тогда вероятное количество годных деталей выразится отношением суммы площадей F₁ + F₂ к площади под всей кривой распределения. Эта площадь ограничена кривой распределения и осью абсцисс. Если это отношение будет меняться, то также будет меняться и вероятность получения годных деталей. При очень большом (безграничном) расширении допуска отношение площадей приближается к единице. Такой случай является предельным, и все детали оказываются годными. Математически это означает, что вероятность получения годных деталей равна единице. Такое положение оказывается очень важным для дальнейших рассуждений.

Примем, что кривая распределения расположена симметрично относительно оси ординат. Тогда площадь левого заштрихованного участка составит

а правого –

Для удобства расчетов эти интегралы представляют в виде функции Φ(z), введя для этого новую переменную z = x/σ. Интегралы упрощаются:

Площади и меньше единицы, а вся площадь под кривой распределения равна единице и выражает число всех изготовленных деталей. Значения интегралов для практических целей берут по табл. 3.2.

Таблица 3.2. Значения функций Φ(z)

z	Φ(z)	z	Φ(z)	z	Φ(z)
0,0	0,0000	1,2	0,7699	2,4	0,9836
0,1	0,0797	1,3	0,8064	2,5	0,9876
0,2	0,1585	1,4	0,8385	2,6	0,9907
0,3	0,2358	1,5	0,8664	2,7	0,9931
0,4	0,3108	1,6	0,8904	2,8	0,9949
0,5	0,3829	1,7	0,9109	2,9	0,9963
0,6	0,4515	1,8	0,9281	3,0	0,9973
0,7	0,5161	1,9	0,9426	3,1	0,99806
0,8	0,5763	2,0	0,9545	3,2	0,99862
0,9	0,6319	2,1	0,9643	3,3	0,99903
1,0	0,6827	2,2	0,9722	3,4	0,99933
1,1	0,7287	2,3	0,9786	3,5	0,99953

Важно учесть, что при z = ± 3σ функция Φ(z) = 0,9973. Это означает, что в партии деталей, изготовленных данным методом в одинаковых условиях, только 0,27% деталей выходит за пределы допуска х = 6σ.

Изложенная методика оказывается очень удобной для практических целей. При изготовлении деталей измеряют только часть партии (например, 50 шт.), определяют и σ. Значение σ умножают на 6, и полученное число достаточно полно характеризует точность всей партии деталей. Вычисление 7σ и определение по этому значению точности партии деталей не дает ощутимых результатов. Поэтому используют правило “шести сигм”, изложенное выше. Следовательно, кривые распределения в производственных условиях строить не обязательно. Однако для анализа ТП и установления прогнозов рассмотрение форм кривых и их расположения может оказаться весьма полезным.

Допустим, что в результате проведения ТП 1 (рис. 3.7, а) определено значение σ₁. Измерение второй выборки деталей через некоторое время показывает, что значение σ₁ сохранилось, однако вся кривая сдвинулась вправо. Это означает, что в ТП 2 ничего не изменилось, кроме расположения центра группирования, т. е. в процессе появилась постоянная погрешность Δ_н. Такая погрешность может, например, представлять собой смещение вершины резца или другое положение его настройки.

Если изменилось не только значение σ, но и произошел сдвиг центра группирования (рис. 3.7, б), то это означает, что вершина резца заняла новое положение, переместившись на Δ’_н и, кроме того, изменились условия обработки. Поскольку σ₂ > σ₁, то процесс обеспечивает меньшую точность (например, обработка производится менее острым резцом). Многовершинная кривая распределения (рис. 3.7, в) показывает, что произошло смешивание представителей различных партий деталей (см. штриховые линии на рис. 3.7, в). Такая кривая не позволяет сделать вывод о процессе обработки.

При наличии таблиц изменения аргумента z определение точности не представляет труда. Допустим, что необходимо найти вероятность получения брака деталей, если среднее квадратическое отклонение для данного конкретного случая обработки σ = 0,02 мм, а допуск на обработку 1Т = 0,08 мм. Границы поля допуска (см. рис. 3.5) расположены на расстояниях x₁ = 0,02 мм x₂ = 0,06 мм от центра группирования.

Рис. 3.7. Изменение формы кривой распределения в ходе технологического процесса

Сначала определим значения z₁ и z₂:

.

По табл. 3.2 находим

.

Вероятность получения брака

.

Допустим далее, что нас интересует, насколько уменьшится вероятность получения брака, если центр группирования удастся путем настройки технологической системы совместить с серединой поля допуска. При этом z₁ = z₂ = z =0,04 / 0,02 = 2. С помощью табл. 3.2 находим

.

Вероятность получения брака

.

По сравнению с предыдущим случаем, она уменьшилась на 11,5%.

Вернемся к рассмотрению данных табл. 3.1. Может создаться впечатление, что о точности партии деталей можно судить по разности предварительно измеренных наибольшего и наименьшего размеров, т. е. х_max – х_min = 31,86 – 31,74 = 0,12 мм. Однако полученное значение характеризует точность не всей партии деталей, а только выборки, состоящей из 52 деталей. Для этого случая х = 31,82 мм, σ = 0,033 мм. Точность всей партии мм.

Из последнего расчета следует очень важный вывод о том, что представленный метод позволяет судить о точности очень больших партий деталей по их представителям. При этом только должно быть выдержано условие о подчинении закону нормального распределения. В большинстве случаев этот закон оказывается справедливым при механической обработке заготовок с точностью по 8, 9 и 10-му квалитетам.

Наряду с законом нормального распределения (законом Гаусса) в технологии машиностроения встречаются и другие законы, тесно связанные с процессом протекания определенного физического явления. На рис. 3.8, а представлена зависимость изменения размера L от времени τ. За время τ₂ – τ₁, размер изменился на величину 2l в пределах от а до b. Линейная зависимость изменения L в данном случае может соответствовать износу режущего инструмента, когда за равные промежутки времени наблюдается равный износ. Более того, это явление оказывается доминирующим среди других одновременно действующих причин. Так, при обтачивании деталей типа валов от заготовки к заготовке будет наблюдаться равномерное увеличение диаметров, а при растачивании отверстия – равномерное уменьшение диаметров.

Распределение размеров заготовок будет в этом случае подчиняться закону равной вероятности, график которого показан на рис. 3.8, б. Геометрический закон выражается прямоугольником с основанием 2l и высотой l/2. Площадь прямоугольника всегда равна единице, так как соответствует всем деталям, прошедшим обработку.

Среднее арифметическое изменение размера

,

а среднее квадратическое

Фактическое поле рассеяния

.

Закон равной вероятности распространяется на распределение размеров таких деталей, которые имеют 5-й и 6-й квалитеты точности при изготовлении по методу пробных ходов и измерений.

Допустим, что процесс протекает по закону, показанному на рис. 3.9, а. Размер (ордината х) сначала возрастает замедленно, а затем ускоренно с ростом числа заготовок п. Это соответствует, например, процессу интенсивного изнашивания режущего инструмента в начале и увеличению сил резания в конце периода стойкости из-за затупления инструмента. Соответствующий закон распределения показан на рис. 3.9, в. Это – закон треугольника (закон Симпсона). Он проявляется при обработке заготовок по 7-му и 8-му квалитетам (редко по 6-му). Поле рассеяния . Значение σ определяется по формуле (3.1).

Рис. 3.8. График изменения размера (а) и его распределение по закону равной вероятности (б)

Пусть теперь размер в зависимости от числа обработанные заготовок п изменяется по закону, показанному на рис. 3.9, б. Это наблюдается в связи с возникновением тепловых деформаций технологической системы. На кривой распределения размеров (рис. 3.9, г) в этом случае также наблюдается доминирующее воздействие указанной причины на процесс их изменения.

Рис. 3.9. Графики протекания процессов (а, б) и соответствующие им кривые распределения (в, г)

При обработке заготовок возникают ситуации, когда случайными оказываются существенно положительные параметры. К ним относятся эксцентричность, непараллельность, неперпендикулярность, биения, разностеность и некоторые другие. Их распределение подчиняется закону эксцентриситета (закону Релея).

Закон Релея – однопараметрический, а уравнение его кривой имеет вид

,

где – радиус-вектор, являющийся случайной величиной; σ₀ – среднее квадратическое отклонение значений координат х и у (также случайные величины).

Кривая закона эксцентриситета по внешнему виду несколько напоминает кривую Гаусса, но имеет более крутой подъем восходящей ветви и более пологий – нисходящей. Начало кривой распределения совпадает с началом координат, а для нисходящей ветви ось абсцисс является асимптотой. Значения σ_R, σ₀ x и у и у связаны между собой выражениями

.

Рассеяние параметров точности при изготовлении деталей и сборке машин редко подчиняется какому-либо одному закону. Как правило, действует композиция законов. Так, кривые распределения, приведенные на рис. 3.7 а и б, показывают, что кроме закона нормального распределения проявляются одновременно и другие законы. Законы распределения в ходе ТП изменяются (изменяются условия протекания этих процессов), поэтому в уравнения кривых распределения вводят время. Для момента времени τ кривой а(τ), представленной на рис. 3.10, соответствует уравнение

,

где а₀ – среднее арифметическое значение размера в начальный момент времени; σ₀ – среднее квадратическое отклонение в начальный момент времени; σ – среднее квадратическое отклонение нормального распределения, формирующего функцию а(τ); Сτ – сумма неслучайных слагаемых, соответствующая моменту времени τ.

Форма кривой распределения зависит от отношения l/σ.

Рис. 3.10. Кривая функции а(τ)

Ввод параметра времени в описание процесса формирования показателей точности совершенствует представление о ходе ТП. При этом представляется возможным учитывать одновременное действие случайных и постоянно действующих погрешностей.

Изменение точностных параметров в ходе ТП можно также представить с помощью точечных диаграмм. Пример такой диаграммы показан на рис. 3.11, а. По оси абсцисс здесь отложены порядковые номера деталей, а на оси ординат – их точностной параметр, например диаметр, измеренный у каждой детали. По расположению точек можно следить за изменением точностных параметров и делать некоторые прогнозы. Однако при незначительных приращениях размеров длина таких диаграмм может оказаться достаточно большой, что вызывает неудобства для проведения анализа. Длина диаграммы может быть сокращена, если по оси абсцисс откладывать порядковые номера не деталей, а их групп (рис. 3.11, б). Каждая группа деталей характерная средним арифметическим отклонением размера. В этом случае тенденция к изменению размеров просматривается более отчетливо. При этом можно определить номер группы деталей, при изготовлении которых имеется тенденция превзойти допуск IT.

Рис. 3.11. Точечные диаграммы

Решают и другие аналогичные задачи. Допустим, необходимо определить размер партии обрабатываемых заготовок, не превышающих допустимый размер 27,2 мм, по измерениям двух групп деталей. В первой группе с номерами от 1 до 10 оказались детали, имеющие следующие размеры, мм: 26,71; 26,65; 26,79; 26,75; 26,76; 26,84; 26,81; 26,83; 26,84; 26,85. Детали второй группы, измеренной контролером, с номерами от 50 до 60 (одиннадцать деталей) имели размеры 27,01; 27,03; 27,00; 26,98; 27 04 27,06; 27,05; 27,06; 27,08; 27,08; 27,09. Задачу о нахождении партии деталей можно решить графически, проведя линию через две точки, характеризующие средние размеры группы. Можно также воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки:

,

где , – среднее арифметическое размеров деталей первой и второй группы соответственно; , – средний номер деталей первой и второй группы соответственно. После вычислений получаем = 26,77 мм; = 27,043 мм; = 5,  = 55.

Уравнение прямой, соответствующей допустимому размеру d = 27,20 мм, имеет вид

.

Отсюда находим N = 86 дет. Следовательно, через каждые примерно 80 деталей необходимо заново регулировать технологическую систему (например, устанавливать и настраивать режущий инструмент).

Анализ точности методом математической статистики имеет ряд неоспоримых преимуществ. С его помощью можно объективно оценить точность ТП. Метод достаточно прост, если исследователь точно знает закон распределения анализируемых величин. Он позволяет сделать предположение о точности весьма большой партии изделий по сравнительно небольшому количеству измеренных объектов. Метод универсален. Его с одинаковым успехом можно использовать для оценки результатов механической обработки резанием, сборки, контроля, изготовления заготовок и других технологических действий. Особенно удобно пользоваться методом для технологических операций, у которых механизм явлений не изучен. Его можно успешно применять для оценки результатов аналитических исследований.

Вместе с тем необходимо учитывать и существенные недостатки метода. Он не вскрывает сущность физических явлений, лежащих в основе ТП, не позволяет конкретно указывать пути повышения точности. Для того чтобы пользоваться методом, необходимо получить информацию, например произвести измерения. Однако измерения будут отражать уже существующий, а не проектируемый процесс. Если процесс характеризуется определенным значением σ, но в нем произошли какие-либо изменения, первоначальное значение уже не может быть использовано. Необходимо определять новое значение σ.

В заключение следует отметить, что при оценке точности целесообразно использовать в наибольшей степени положительные свойства метода математической статистики, а отрицательные постоянно учитывать в ходе исследования. Весьма результативно также применять в практической работе несколько методов оценки точности, используя положительные стороны каждого из них.