1. Понятие задачи математического программирования. Задачи линейного программирования.

Математическое программирование – матем.дисциплина, занимающаяся изучением экстремальных задач и разраб.методов их решения.

Задачи матем.программирования:

• линейное программирование (если все функции в ограничениях и в целевой функции являются линейными).

• нелинейное программирование (если хотя бы одна из указанных функций нелинейная)

Функция называется линейной, если все переменные, входящие в нее имеют 1-ю степень и не перемножаются.

Функции, не являющиеся линейными, наз-ся нелинейными.

Вид линейной функции:

Линейное программирование – наука о методах исследования и отыскания экстремума (наиб.инаим.значений) линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Экономиммико – математическая модель – это математическое описание исследуемого процесса или явления.

Процесс экономико экономических моделей называют моделированием. Этот процесс можно разбить на этапы.

1)выбор некоторого числа переменных величин.

2)определение ограничений на переменные.

3)выбор численного критерия оптимизации в форме целевой функции.

4)математическая формулировка задачи.

Общей (стандартной) задачей линейного программирования называется задача нахождения минимума линейной целевой функции (линейной формы) вида: f(x)=c1x1+c2x+cnxn

Задача в которой фигурируют ограничения в форме неравенств, называется — основной задачей линейного программирования. Задача линейного программирования будет иметь канонический вид, если в общей задаче вместо первой системы неравенств имеет место система уравнений с ограничениями.

Основную задачу можно свести к канонической путём введения дополнительных переменных.

Задачи линейного программирования наиболее общего вида (задачи со смешанными ограничениями: равенствами и неравенствами, наличием переменных, свободных от ограничений) могут быть приведены к эквивалентным (имеющим то же множество решений) заменами переменных и заменой равенств на пару неравенств.

2. Допустимые и оптимальные решения задачи математического программирования.

При решении задач возникает потребность в определении максимального или минимального значения некоторой функции f(x) в некоторой области D возможных значений ее аргумента х . Функция f(x) - называется целевой функцией, а любая точка - допустимой точкой или допустимым планом.

Точка, в которой достигается максимальное(минимальное) значение целевой функции называется точкой максимума/минимума или оптимальным планом.

Изучением и разработкой методов вычисления оптимальных решений занимается отдел прикладной математики - математическое программирование, в котором, в свою очередь, можно выделить различные классы задач (линейное программирование, выпуклое программирование и т.д.) - для каждого из них существуют свои специальные методы решение. Выделение специальных классов задач матпрограммирования происходит путем наложения специальных ограничений на вид целевой функции и на способы задания области Например, если - линейная функция нескольких переменных, а область задается с помощью линейных ограничений на переменные, то мы приходим к задачам линейного программирования.

Планом или допустимым решением задач линейного программирования называется совокупность чисел Х=(Х1…Хn), удовлетворяющих ограничениям задачи.

Оптимальным планом или оптимальным решением задачи называется план Х*=(Х1*,Х2*,…Хn*), при котором целевая функция задачи принимает свое максимальное или минимальное значение.

3. примеры задач линейного программирования: задача об оптимальном использовании производственных ресурсов (задача планирования производства) Задача планирования производства содержательно ставится следующим образом. Пусть имеется некоторый экономический объект (предприятие, цех, артель и т. п.). Необходимо спланировать производство n видов продукции, если известно: 1)на производство всех видов продукции используется m видов ресурсов, причем запасы каждого из них ограничены, и пусть b_i (i=1,2,…,m) – это количество ресурса i-го вида, которое имеется в наличии; 2)известна величина a_ij – количество i-го ресурса (i=1,2,…,m), которое затрачивается на производство одной единицы j-го продукта (j=1,2,…,n); 3)известна стоимость c_j (j=1,2,…,n) реализации одной единицы j-го продукта. Требуется составить оптимальный план производства продукции, то есть такой план, который максимизирует суммарную прибыль от реализации всей произведенной продукции и при этом не происходит перерасхода ресурсов. ^ Строим экономико-математическую модель задачи. 1)Выбираем управляемые переменные, то есть такие переменные, на которые вы можете воздействовать и значения которых собираетесь искать в вашей задаче. Имеющиеся данные, на значения которых вы не можете влиять, называются константами или параметрами. Введем переменную x_j (j=1,2,…n) – количество выпускаемой продукции j-го вида. 2)Построим функцию цели, отражающую эффективность решения задачи. Ее значения зависят от значений управляющих переменных, и она дает возможность сравнивать варианты решений по эффективности. В нашем случае такой функцией является суммарная прибыль. Мы будем максимизировать функцию цели. 3)Введем ограничения на управляемые переменные – количество ресурсов каждого вида ограничено величиной b_i (i=1,2,…,m).

(2) К системе (2) также должны быть добавлены естественные ограничения на неотрицательность компонентов плана производства: x_j 0, j=1,2,…,n (3)

^ Решить задачу – значит найти такой вектор ,который будет удовлетворять всем ограничениям (2), (3) и максимизировать функцию цели. Легко заметить, что функция - линейная, так как все переменные используются в ней только в первой степени. Ограничения (2) представляют собой систему линейных неравенств, (3) – также линейное неравенство. Такую задачу называют задачей линейного программирования (ЗЛП). Несмотря на явную условность рассматриваемой ситуации и кажущуюся простоту задачи (1)-(3), ее решение является далеко не тривиальным и во многом стало практически возможным только после разработки специального математического аппарата. Существенным достоинством используемых здесь методов решения является их универсальность, поскольку к модели (1)-(3) могут быть сведены очень многие как экономические, так и неэкономические проблемы.