26. Узкополосные случайные сигналы. Необходимость определения статистических характеристик огибающей и фазы этих сигналов.

27Законы распределения узкополосного случайного сигнала, его фазы и огибающей.

Узкополосный сигнал (У.с.с.)– сигнал, у которого эффективная ширина полосы частот в любом месте намного меньше центральной частоты.

У.с.с. формируется как результат воздействия случайных явлений различного рода: внешних, искусственных и естественных помех внутр. Шумов.

Вследствие справедливости центральной предельной теоремы: случ. процесс, который является суммой других случ. процессов подчиняется нормальному закону распределения:

Законы распределения огибающей и фазы:

X(t)=U(t)cos( ) – реализация случ. Сигнала

Для определения закона распределения огибающей и фазы воспользуемся формулой реализации с.с.,т.е необходимо найти P(u),P( )

Определение з-на распред-ия p( )

X(t)=U(t)cos U(t)sin = (t) - (t) ,

Где (t)= U(t)cos -косинусная составляющая

(t)= U(t)sin - синусная составляющая

Очевидно,что U(t)=

= -arctg

Для определения p( )-двумерная плотность вероятности, найдем P( ) , P ), а также особенности случ. процессов (t) и (t).

Анализ формул для X(t), (t), (t) показывает, что спектры процессов (t) и (t) отличаются от спектра х(t) сдвигом частоты , при сохранении структуры спектра.

Это значит, что (t) и (t) бдут иметь такой же закон распределения, как и x(t).

Как следует из теоремы Винера-Хинчира:

d

Т.е. - площадь под кривой спектральной плотности мощности

Вывод: т.к. спектр составляющих сдвинут на без изменения структуры, то = ,следовательно:

P( )= P )=

Для определения p( ) докажем, что процессы (t) и (t) независимы:

=

(у зависимых было бы +2 )

Корреляц. Ф-я =0.

Значит: p( ) =

p( ) =

Определим з-н распределения P(U, )

1. Возьмем бесконечномаленькие фигуры с равной площадью

dUc*dUs=UdUd

2. Как известно вероятность попадания в бесконечномаленький dx равна p(x)dx,следовательно вероятность попадания в прямоугольник dUcdUs равна:

P(Uc,Us)dUcUs = dUcUs

3. Из другого графика можно записать:

P(U, )dU d - вероятность попадания в dU d

4. P(Uc,Us)dUcUs =P(U, ) dUd

5. P(U, ) = =

Определение з.р. огибающей

P(U)= - закон Релея.

28. Анализ прохождения случайных сигналов через линейные цепи. Постановка задачи.

П

K(j ), h(t), g(t)

остановка задачи: на вход линейного устройства с передаточной функцией K(j )(частотный коэффициент передачи) или импульсной характеристикой h(t) или переходной характеристикой g(t) поступает случайный процесс, моделью которого служит стационарный процесс(ведет себя однородно во времени и формируется в установившемся режиме работы РТ цепи) с заданными статистическими характеристиками, необходимо найти характеристики выходного сигнала.

X(t) Y(t)

(закон распределения)

(спектральная плотность мощности)

(корреляционная функция)

(дисперсия)

(мат. ожидание)

В общем виде задача изучения прохождения случайных сигналов через линейные цепи состоит в определении закона распределения (функции распределения или плотности вероятности) процесса на выходе цепи при известных законе распределения входного случайного процесса и характеристик цепи. Как правило, решение задачи в общем виде наталкивается на существенные трудности. Поэтому, обычно указанную задачу сводят к определению вероятностных характеристик (математического ожидания, дисперсии, автокорреляционной функции) выходного случайного процесса. Объясняется это тем, что для практики построения и анализа радиотехнических устройств вполне достаточно знания этих характеристик.

Наиболее эффективным методом решения задачи прохождения случайного процесса через линейные цепи является спектральный метод. Напомним, что спектральный метод основывается на представлении сигнала в частотной области и знании комплексного коэффициента передачи цепи. Но если спектральный состав детерминированного сигнала определяется совокупностью комплексных амплитуд, то спектральный состав случайного сигнала определяется совокупностью значений мощности составляющих спектра, распределенных в диапазоне частот. В этом состоит особенность использования спектрального метода при анализе преобразования случайного сигнала линейной цепью.

Общая задача анализа прохождения случайного процесса через линейную цепь формулируется следующим образом. На вход линейной цепи (рис. 6.1) с комплексным коэффициентом передачи поступает случайный процесс , энергетический спектр которого (спектральная плотность мощности) равен . Необходимо найти характеристики случайного процесса на выходе линейной цепи.

Введем следующие предположения:

– входной случайный процесс является стационарным в широком смысле;

– среднее значение входного СП равно нулю, т.е. ;

– известен энергетический спектр входного процесса.

В соответствии с общим определением спектральной плотности мощности эта характеристика для выходного СП будет равна

. (6.1)

Величину можно представить следующим образом

, (6.2)

где – спектр реализации случайного процесса достаточно большой (теоретически бесконечной) длительности . С другой стороны, в предположении того, что реализация известна можно записать

, (6.3)

.

Подстановка (6.3) в (6.2) дает

. (6.4)

В свою очередь, подставляя (6.4) в (6.1), получим

. (6.5)

Таким образом, энергетический спектр случайного процесса на выходе линейной цепи равен произведению энергетического спектра входного случайного процесса и квадрата амплитудно–частотной характеристики цепи.

Выражение (6.5) определяет закон преобразования СП линейной цепью. Отметим, что фазо–частотная характеристика цепи не оказывает никакого влияния на этот закон.

Автокорреляционная функция выходного СП определяется в соответствии с теоремой Винера–Хинчина

. (6.6)

(в нашем случае автокорреляционная – корреляционной функции)

Так как дисперсия (средняя мощность) численно равна значению АКФ при , то для выходного СП можно записать

. (6.7)

Если входной СП имеет математическое ожидание, отличное от нуля, то математическое ожидание выходного СП определяется следующим выражением

. (6.8)

Поскольку для рассматриваемой задачи (см. предположения), то математическое ожидание .