10. Оценка параметров заключений по (мнк)

Пусть известны правила и параметры функций принадлежности антецедентов. В этом случае остается лишь оценить параметры заключений (консеквентов), чтобы завершить построение модели ОУ.

Заметим, что формулы дефаззификации для синглтонных и ТС моделей являются линейными относительно параметров консеквентов (заключений) a_i, b_i, что вытекает из вышеприведенных формул

(1)

где последняя формула соответствует модели ТС r-го порядка. При этом так что Как видим, формулы для выхода синглтонных и ТС моделей оказываются линейными по параметрам и . Отсюда эти параметры при заданных правилах и параметрах функций принадлежности антецедентов, другими словами, при известных степенях истинности правил , могут быть найдены из доступных данных с помощью метода наименьших квадратов (МНК).Вводя нормализованную степень истинности l-го правила

получаем ТС модель как квазилинейную (аффинную) модель r-го порядка следующего вида

В векторной форме последнее выражение можно представить как произведение векторов [.] и :

.

При этом искомые параметры заключений и для объединены в один вектор-столбец параметров с размерностью :

При известных данных X и y уравнение (1) теперь можно записать в матричной форме,

или в виде , где - ошибка аппроксимации. Хорошо известно, что эта система уравнений может быть решена относительно вектора параметров как . (3). Это оптимальное решение по методу МНК, которое дает минимальную ошибку и как таковое применимо для моделей предсказания. В то же самое время, опуская для всех , из уравнений (1) и (2) получаем формулы, применимые для синглтонных моделей.

11. Адаптивные нейронные нечеткие системы инференции (anfis)

Рассмотрим нечеткие нейронные сети, которые в англоязычной литературе получили название ANFIS (Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System). ANFIS имеет структуру, которая по своим функциям эквивалентна нечеткой системе логического вывода, построенной с помощью нечетких базовых правил типа Такаги - Сугено. Грубо говоря, ANFIS является методом для настройки сформулированных базовых правил, точнее параметров соответствующих этим правилам функций принадлежности, с помощью алгоритмов обучения, основанных на комплекте обучающих (образцовых) данных. Такие алгоритмы позволяют адаптировать (приспосабливать) базовые правила к обучающим данным.

Структура ANFIS

Предположим без потери общности, что имеется два входа u₁ и u₂, и один выход y. Предположим также, что используется набор базовых правил типа Такаги-Сугено первого порядка, состоящий из двух правил: Если u₁ есть A₁ и u₂ есть B₁ , то y₁=c₁₁ u₁ + c₁₂ u₂+c₁₀ ,(1)

Если u₁ есть A₂ и u₂ есть B₂ , то y₂=c₂₁ u₁ + c₂₂ u₂+c_{20 .} (2)

М ежду прочим, нечеткий контроллер с такими правилами может осуществлять интерполяцию выходов двух линейных контроллеров. Если степень истинности (возбуждающая сила) правил равна и соответственно для конкретных значений входов u₁ и u₂, то выход вычисляется как средневзвешенное значение (3)

Соответствующая нечеткая нейронная сеть показана на рис. 1. Дадим описание слоев в этой сети.

1. Каждый нейрон в слое с номером 1 является адаптируемым с параметрической активационной функцией, роль которой выполняет соответствующая функция принадлежности . Выход этого нейрона представляет собой степень, с которой данный вход удовлетворяет функции принадлежности, т. е. или . Примером функции принадлежности является колоколообразная функция , (4) где {a, b, c} есть множество параметров. При изменении значений этих параметров изменяется форма колоколообразной функции принадлежности. Параметры этого слоя называют параметрами предпосылок (условий).

2. Каждый узел в слое 2 является фиксированным узлом, выход которого равен произведению всех поступающих на него сигналов. В общем случае, может быть использована любая другая нечеткая операция И, например, минимум. Выход каждого узла представляет собой степень истинности i-го правила

3. Каждый узел в слое 3 является фиксированным узлом, который вычисляет отношение степени истинности i-го правила и суммы степеней истинности всех правил i=1,2 (5) Таким путем осуществляется нормализация степени истинности.

4. Каждый узел в слое 4 является адаптивным слоем с выходным сигналом , i=1,2 , где есть нормализованная степень истинности, получаемая с выхода слоя 3 и { , , } есть множество параметров этого узла. Параметры этого слоя называются параметрами заключения.

5. Каждый узел в слое 5 есть фиксированный узел, который суммирует все поступающие на него сигналы.

Легко обобщить структурную схему ANFIS, представленную на рис. 1, на базу правил, состоящую из более, чем двух правил.