8. Проектирование нечетких контроллеров (метод Мамдани)

1. Нечеткий контроллер с одним входом и одним выходом

П усть нечеткое правило, установленное с помощью экспертов, гласит: Если ошибка e есть , то управление u есть . (2.15). Это правило называется лингвистической моделью нечеткого контроллера. В результате измерений получено, что ошибка принимает другое лингвистическое значение, нечеткое множество . Делаем логический вывод: управление есть , в такой же степени близкое множеству , в какой степени близко к . Пусть ФП термов и определены и имеют вид и (рис. 2.7,а). Известна ФП для множества . Заметим, что множества и заданы на одном универсуме. При этом степень истинности утверждения «нечеткое множество близко к множеству » определяется композицией (шаг 1 алгоритма нечеткого логического вывода) (2.16) Рис. 2.7,а. Отсюда нечеткий логический вывод (заключение) приводит к ФП (шаг 2 алгоритма нечеткого логического вывода)

, (2.17) соответствующей множеству . Операция (2.17) называется активизацией правила. Весь алгоритм максиминной инференции графически иллюстрируется рис. 2.7,а. В системах управления представляет собой, как правило, четкое множество, включающее лишь один элемент (e-четкая (количественная) переменная), и его можно рассматривать как нечеткое множество с ФП

, (2.18), т.е. как синглтон (четкое число). Такой метод определения степени принадлежности называется синглтонной фаззификацией. При этом степень истинности

, (2.19), т.е. равна степени принадлежности при , другими словами, степени принадлежности, полученной при фаззификации (см. рисунок ниже).

Д ля случая, когда есть синглтон с ФП (2.18), то в соответствии с (2.17)

(2.20). В дальнейшем нас будет интересовать в основном только этот случай. Если нечеткое множество − синглтон с ФП ,(2.21) то нечеткое множество будет представлять собой также синглтон с ФП (2.22)

2. Нечеткий контроллер с двумя входами и одним выходом

Рассмотрим нечеткий логический вывод для контроллера с двумя входами и одним выходом.

а) Нечеткий контроллер описывается одним правилом.Пусть нечеткое правило является условным составным предложением следующего вида:Если ошибка e есть и скорость изменения ошибки ce есть ,То управление u есть .(2.22а). Как видим, нечеткий контроллер имеет два входа – ошибку и скорость ее изменения. Правило (2.22а) можно записать в виде Если вход e есть , то управление u есть , где представляет собой конъюнкцию нечетких множеств и : , (2.23) e –фиктивный вход, эквивалентый в некотором смысле двум входам. Предположим, что в результате измерений установлено, что ошибка есть нечеткое множество и скорость изменения ошибки есть нечеткое множество . Тогда можно считать, что нечеткому множеству соответствует множество (2.24). Степень истинности «утверждения близко к A », другими словами, степень выполнения условия правила, определяется как конъюнкция степеней и близости соответственно к и к : , (2.25), где (2.26). Операция (2.25) называется конъюнкцией условий или агрегированием условий. Если и четкие множества (e и ce –четкие (количественные переменные) e’ и ce’), другими словами, синглтоны с ФП соответственно

, (2.27), то степени истинности равны

, (2.28), т.е. равны степеням принадлежности множеств и , полученным в процессе фаззификации. Нечеткий логический вывод определяется, как и прежде по (2.17), ,где вычисляется с помощью (2.25). Если и четкие множества, то .