32. Модель Такаги-Сугено как квазилинейное (аффинное) устройство. Модель Такаги-Сугено как квазилинейное устройство

Модель ТС можно трактовать как квазилинейное устройство. Чтобы это показать, преобразуем выражение для выхода:

где коэффициенты

, ,

представляют собой линейные комбинации параметров , , , а величина

является нормированной степенью истинности (возбуждающей силы) i-го правила. Мы записали явно как функцию e и ce , чтобы подчеркнуть, что контроллер Такаги-Сугено является квазилинейной (аффинной) моделью, т.е. линейной моделью, коэффициенты которой зависят от входных сигналов.

Коэффициенты («параметры») , и являются выпуклой линейной комбинацией параметров заключений , , . В этом смысле модель (контроллер) ТС можно рассматривать как устройство, преобразующее пространство входов (условий) в пространство параметров квазилинейной модели, как схематически показано на рис. 4 для r=2, N=9, =0.

Рис. 4

Примечание. Политоп – выпуклый многогранник.

Пример 2.4 (Такаги-Сугено). Пусть мы имеем два правила.

1. Если ошибка есть Большая, то выход есть Линия 1.

2. Если ошибка есть Малая, то выход есть Линия 2.

Линия 1 определяется уравнением =0,2*ошибка+90 и линия 2 определяется как =0,6* ошибка +20. Эти правила осуществляют интерполяцию двух линий в диапазоне (рис. 5,a), где функции принадлежности термов Большая и Малая перекрываются (рис. 5,б). Вне этого диапазона выход является линейной функцией ошибки.

Рис. 5

Этот вывод вытекает из выражения для выхода

.

Подобный вид модели нечеткого логического выхода используется в нейронечетких системах.

Чтобы применить данную модель, точнее нейронечеткую систему, для моделирования динамики конкретного объекта управления, ее вход обычно расширяют за счет прошлых значений сигналов входа u и выхода y этого объекта. В области дискретного времени выход модели y^m с верхним индексом, относящимся к модели, и выход объекта y^p с верхним индексом, относящимся к объекту, связаны как

y^m[i+1] = (y^p[i],…, y^p[i − n+1];u[i],…, u[i − m+1]).

Здесь представляет собой нелинейную функцию, связывающую выход и вход модели (т.е. аппроксимацию функции f, связывающей выход и вход этого объекта). Разумеется, что речь идет о дискретной модели объекта управления, как это видно из уравнения для y^m[i+1].

33. Контроллер типа Такаги-Сугено.

Контроллер (модель) типа Такаги-Сугено

Мы видели, что заключения в лингвистических моделях контроллеров являются нечеткими терм-множествами, однако они могут быть и четкими величинами, линейной комбинацией или даже нелинейной функцией четких входных сигналов. Общая структура N базовых правил Такаги-Сугено (ТС) для контроллера с r входами и одним выходом имеет следующий вид

Если e₁ есть A_1i, e₂ есть A_2i,…,e_r есть A_ri, то y_i = g_i(e₁, e₂,…, e_r), .

Здесь y_i – выход (заключение) i-го правила , g_i – функция входов e_i, , которые в противоположность лингвистической модели представляют собой четкие переменные. Простой пример (N=1).

Если ошибка есть Нуль и скорость ее изменения есть Нуль, то выход u=c,

где c – не нечеткая (четкая) постоянная.

Эта модель называется моделью ТС нулевого порядка, и она идентична использованию синглтонов в заключениях правил, т.е. синглтонной модели. Несколько более сложное правило выглядит так:

Если ошибка есть Нуль и скорость ее изменения есть Нуль, то выход

u = a*( ошибка e) + b*( скорость изменения ошибки ce) + d,

где a, b и d – постоянные.

Это модель ТС первого порядка с одним правилом (N=1). Инференция с несколькими правилами осуществляется обычным способом, т.е. степень истинности (возбуждающая сила) , вычисляется для каждого правила. Однако в отличие от рассмотренного ранее метода Мамдани заключение каждого правила является линейной функцией входов, например, ошибки и скорости ее изменения

.

Заключение (выход) каждого правила можно рассматривать как мобильный синглтон, т. е. как синглтон, позиция которого не фиксирована, а зависит от текущих значений ошибки и скорости ее изменения. Выход (заключение) всех правил в этом методе в результате дефаззификации определяется как взвешенное среднее значение вкладов (метод центра тяжести), вносимых каждым правилом

.

Такой контроллер, можно сказать, осуществляет интерполяцию выходных сигналов N линейных контроллеров (рис. 1), каждый из которых в соответствии с одним из базовых правил вырабатывает сигнал, линейно зависящий, скажем, от ошибки и ее скорости изменения. При этом вклад каждого линейного контроллера в выходной сигнал нелинейного контроллера зависит от степени перекрытии ФП терм-множества входа. Это свойство весьма полезно для применения в нелинейных системах управления, где каждый

Рис. 1

контроллер работает лишь в отведенном ему подпространстве всего пространства состояний. Можно сказать, что базовые правила осуществляют плавную интерполяцию между плоскостями (в частном случае для одного входа (r=1) между прямыми линиями, см. рис. 3, 5), наклон которых определяется коэффициентами линейных контроллеров. На рис. 2 в качестве примера для N=4, r=2 показаны желтым цветом плоскости управления для 4-х линейных контроллеров и поверхность управления для контроллера Такаги-Сугено первого порядка при двух термах для каждого входа с трапецевидными функциями принадлежности.

Рис. 2

Заметим, что возможно применение моделей ТС более высокого порядка, чем первый.

Если ФП терм входов определены автономно, кроме участков перекрытия друг с другом, и параметры заключений , соответствуют локальной аппроксимации функции u=f(e), r=1, N=3, модель ТС можно рассматривать как устройство, осуществляющее гладкую аппроксимацию этой функции (рис. 3).

Рис. 3