15. Математическая модель нейрона. Математическая модель нейрона

Приведем обобщенную математическую модель, в соответствии с которой нейрон представляет собой безынерционное устройство с n входными сигналами и одним выходным сигналом у (рис. 3). Процесс преобразования входа включает в себя:

во-первых, вычисление функции передачи (функции распространения)

, (1)

представляющей собой взвешенную сумму всех входных сигналов, получаемых от нейронов-передатчиков, где весовые коэффициенты w_i, определяются синаптической силой соответствующих входным сигналам синапсов. Возбуждающим синапсам соответствуют положительные значения, а успокаивающим синапсам - отрицательные значения весовых коэффициентов. Величина v называется уровнем активации или внутренним входом нейрона. Чтобы учесть то обстоятельство, что уровень активации нейрона в отсутствие входных сигналов u_i не является нулевым, к взвешенной сумме добавляется так называемое смещение b;

Рис. 3

во-вторых, так называемую активационную функцию (функцию активации f), преобразующую уровень активации v в выходной сигнал нейрона у. Для этой цели используются различные функции, среди которых наиболее распространенной является сигмоидальная функция (рис.4), описываемая следующим выражением

(2)

Рис.4

В этой функции при любых значениях v множество значений y ограничено интервалом [0,1]. Крутизна нелинейной характеристики нейрона

определяется производной от активационной функции.

Для сигмоидальной функции, описываемой (2), крутизна имеет вид

(3)

и изменяется в зависимости от уровня активации от малых значений (при отрицательных значениях v) до максимального значения (при нулевом уровне активации) и снова уменьшается при больших положительных значениях v.

Самой простой формой активационной функции является линейная функиия, описываемая выражением

y=kv, (4)

где k - некоторая постоянная. В ряде случаев ее принимают равной единице.

Для упрощения изображения нейрона (рис. 2) используем понятие узла, известное в сигнальных графах. При этом в случае двух входов нейрон можно представить графически в более простом виде (рис. 5).

Рис. 5

На этом рисунке узел является графическим изображением двух операций, определяемых уравнениями (1) и (2), причем . При этом

.

16. Нечеткое управление с предсказанием.

17. Визуализация нечеткого логического вывода. Аккумуляция заключений.

Визуализация алгоритма нечеткого логического вывода. Рассмотрим изложенную технологию инференции применительно к рис. 2.8 и 2.10. Эти рисунки визуально отображают алгоритм, положенный в основу работы нечеткого ПД – контроллера. Например, первый ряд на рис. 2.8 говорит о том, что, если ошибка отрицательная (ряд 1, столбец 1) и скорость изменения ошибки отрицательная (ряд 1, столбец 2), то выход должен быть отрицательным и большим (по абсолютному значению).

Представленная на рис. 2.8 диаграмма целиком и полностью соответствует базовым правилам (2.2).

1.Если ошибка Отр и скорость изменения ошибки Отр, то выход ОтрБ.

2.Если ошибка Отр и скорость изменения ошибки Нуль, то выход ОтрС.

3.Если ошибка Отр и скорость изменения ошибки Пол, то выход Нуль.

4.Если ошибка Нуль и скорость изменения ошибки Отр, то выход ОтрС.(2.2)

5.Если ошибка Нуль и скорость изменения ошибки Нуль, то выход Нуль.

6.Если ошибка Нуль и скорость изменения ошибки Пол, то выход ПолС.

7.Если ошибка Пол и скорость изменения ошибки Отр, то выход ОтрБ.

8.Если ошибка Пол и скорость изменения ошибки Нуль, то выход ПолС.

9.Если ошибка Пол и скорость изменения ошибки Пол, то выход ПолБ.

Кстати число правил N, необходимых для обеспечения работоспособности нечеткого контроллера, определяется по формуле

,

где r – количество входов, n_i – число термов для i-го входа. В данном случае r=2 (ошибка и скорость изменения ошибки), n₁ =n₂ =3, так что N=3*3=9.

Рис. 2.8

Эти правила воплощают стратегию (закон) управления, согласно которому управляющий сигнал должен быть комбинацией упоминаемой ошибки и скорости изменения ошибки в нечетком пропорционально-дифференциальном контроллере.

Мгновенные значения ошибки и скорости ее изменения определяют положение вертикальных линий в первом и втором столбцах диаграммы. В рассматриваемом случае ошибка e= e₁=0 и скорость ее изменения ce= =ce₁=-55.5. Для каждого правила алгоритм инференции отыскивает значения функций принадлежности в части условий (предпосылок, антецедент) правил, т.е. отыскивает степени принадлежности для каждого правила.

Аккумуляция. Аккумуляция, или аккумулирование представляет собой процедуру нахождения функции принадлежности выходной лингвистической переменной. Разумеется, что априорно выбираются функции принадлежности для всех q термов выходной переменной. Поэтому можно считать как бы априорно заданной лингвистическую переменную выхода контроллера. Цель аккумуляции состоит в том, чтобы объединить или аккумулировать заключения, лучше сказать подзаключения всех базовых правил, и в результате получить заключение, соответствующее всей правой части То этих правил. Подзаключения относятся к одной и той же лингвистической переменной выхода, но принадлежат различным правилам нечеткой инференции. После активации функции принадлежности всех или части термов выхода видоизменяются в соответствии с входными сигналами контроллера. В сущности, каждое подзаключение полностью характеризуется видоизмененной функцией принадлежности соответствующего терма выхода. При этом надо иметь в виду, что каждому правилу отвечает свой терм и свое подзаключение. Если правило не активизировано, то присущая ему видоизмененная функция принадлежности терма выхода равна нулю и не оказывает никакого влияния на искомое заключение. Еще стоит отметить, что одни и те же термы выхода с одинаковыми или различными видоизмененными функциями принадлежности могут фигурировать в нескольких правилах.

Для аккумуляции активизированных функций принадлежности терм выхода используется операция .

Замечание. Если видоизмененные функции принадлежности термов выхода не перекрываются между собой (например, в случае синглтонов), то операция аккумуляции применяется для определения функций принадлежности тех термов, которые встречаются в двух и более правилах инференции.

Рис.2.8

В результате аккумуляции получают заключения для всех термов переменной выхода. Теперь для определения искомой функции принадлежности выходной переменной достаточно расположить полученные функции принадлежности термов на одной оси. Таким способом найден окончательный график функции принадлежности управляющего сигнала, расположенный на рис. 2.8 внизу справа. Здесь один и тот же терм выхода ОтрС фигурирует во втором и четвертом правилах, терм выхода Нуль – в третьем, пятом и седьмом правилах, наконец, терм выхода ПолС – в шестом и восьмом правилах. Как видно из рис. 2.8, активизированы терм ОтрБ в первом

правиле, второй терм ОтрС во втором и четвертом правилах, третий терм Нуль в пятом и седьмом правилах, четвертый терм ПолС в восьмом правиле. Все остальные термы во всех других правилах имеют нулевую функцию принадлежности. Следовательно, применяя операцию max, получаем, что терму ПолБ соответствует подзаключение с нулевой функцией принадлежности; терму ОтрБ − подзаключение с функцией принадлежности, определяемой видоизмененной функцией принадлежности того же терма в первом правиле; терму ОтрС – подзаключение с функцией принадлежности, определяемой видоизмененной функцией принадлежности того же терма в четвертом правиле; терму Нуль – подзаключение с функцией принадлежности, равной видоизмененной функции принадлежности такого же терма в пятом правиле; терму ПолС - подзаключение с функцией принадлежности, определяемой функцией принадлежности того же терма в восьмом правиле. Искомую функцию принадлежности выхода согласно (2.31) и (2.32) можно записать так,

,

в силу того, что

, , , .

Рис. 2.10

18. Параметры алгоритма с-средних.

19. Проектирование нечетких контроллеров (Метод Мамдани). Нечеткие контроллеры с одним входом и одним выходом.

20. Нечеткая логика. Логические связки.

21. Проектирование нечетких контроллеров (метод Мамдани). Многомерный нечеткий контроллер.

22. Алгоритм обучения адаптивных нечетких нейронных сетей (ANFIS).

5. Синтез нечетких нейронных сетей