10. Анализ устойчивости тс модели объекта управления в пространстве состояний. Анализ устойчивости тс модели объекта

Рассмотрим ТС нечеткую модель (1) при u=0 (автономный объект):

Если x₁ есть A_1l …и x_n есть A_nl,

То x[i+1]= A_lx[i], l= , (7)

которую можно также представить в виде

x[i+1]= A( )x[i]. (8)

Анализ устойчивости ТС нечетких систем выполняется главным образом на основе теории устойчивости Ляпунова, однако, с различного вида функциями Ляпунова. Одной из таких функций является так называемая общая (или глобальная) квадратичная функция Ляпунова, второй одна из так называемых кусочных квадратичных функций Ляпунова, и третьей одна из так называемых

нечетких (или не квадратичных) функций Ляпунова. Остановимся на анализе устойчивости на основе общей квадратичной функции Ляпунова.

Впервые результаты анализа на основе общей квадратичной функции Ляпунова были опубликованы Танако и Сугено, и затем были предложены многочисленные модифицированные и улучшенные методы ее применения. Если кандидатом на функцию Ляпунова определена функция

, (9)

где матрица P является положительно определенной матрицей, то следующий результат может быть сравнительно просто получен.

Теорема 1: ТС нечеткая система, описываемая уравнением (7) или, что эквивалентно, уравнением (8), глобально (т.е. в целом) экспоненциально (следовательно, и асимптотически) устойчивая,

a) если существует положительно определенная матрица P такая, что удовлетворяется следующее линейное матричное неравенство (ЛМН):

l= , (10)

или, эквивалентно;

b) если существует положительно определенная матрица X такая, что удовлетворяется следующее линейное матричное неравенство (ЛМН):

< 0, l= . (11)

Эквивалентность (10) и (11) легко устанавливается с помощью дополнения Шура при X=P^-1. Однако, форма (11) более удобна при синтезе контроллеров, что можно увидеть из материалов в следующем параграфе. Так же следует сказать, что, если существует решение X для (11), то оно является положительно определенным.

Условия (10) или (11) представляют собой линейные матричные неравенства относительно переменных P или X соответственно. Существование решения для этих ЛМН легко устанавливается с помощью приложения LMI Toolbox системы Matlab. Чтобы оценить устойчивость, необходимо найти P или X соответственно, удовлетворяющие условиям Теоремы 1, или определить, что таких P или X не существует. Это как раз задача, решаемая с помощью ЛМН.

Показано, тем не менее, что общая квадратичная функция Ляпунова имеет тенденцию быть консервативной (приводит к очень жестким условиям устойчивости), и даже хуже, может не существовать, для многих сложных нелинейных систем высокого порядка. Это одно из основных недостатков такого подхода.

11. Проектирование нелинейного нечеткого (НПД+И)-контроллера. Настройка ПИД регуляторов. Линейные нечеткие контроллеры.

2.8 Проектирование нечетких ПИД-контроллеров

Если цель управления заключается в стабилизации управляемой величины на заданном уровне, то естественно рассматривать ошибку управления в качестве входного сигнала для нечеткого контроллера, и отсюда вытекает мысль о том, что и производная и интеграл от ошибки управления также могут быть использованы как входные сигналы для такого контроллера. Однако при настройке нечеткого ПИД-контроллера трудно судить о влиянии каждого из его параметров (коэффициентов усиления) на такие показатели качества, как перерегулирование, длительность переходного процесса, в силу того, что этот контроллер в большинстве случаев обладает ярко выраженными нелинейными свойствами, и, кроме того, имеет большое число настраиваемых параметров. В этом разделе предлагается процедура, позволяющая трансформировать технологию выбора параметров в области ПИД- регуляторов в область нечетких контроллеров. Основная идея заключается в том, чтобы, начав проектирование с настройки обычного (четкого) ПИД-регулятора, заменить его эквивалентным линейным нечетким контроллером, затем преобразовать линейный контроллер в нелинейный нечеткий контроллер, и, в конечном счете, настроить должным образом последний контроллер. Описанный здесь подход уместен, если ПИД-регулятор в принципе может быть использован в целях управления данным объектом или уже применяется. Систематическая процедура настройки, сопровождающая такой подход, упрощает выбор параметров нечеткого контроллера и может служить мостом на пути автонастройки последнего.

Классические контроллеры могут быть настроены различными способами, включая ручную настройку, метод Циглера-Николса, формирование частотной характеристики разомкнутой системы, аналитические методы (путем оптимизации), метод размещения нулей и полюсов или с помощью автонастройки. Надо отметить, что при определенных условиях работы, свойства четких ПИД-регуляторов и нечетких ПИД-контроллеров оказываются весьма схожими. Тем не менее, следует признать существование большого разрыва между методами настройки ПИД-регуляторов и стратегией проектирования нечетких ПИД-контроллеров.

В этом разделе рассматривается технология проектирования, которая на первом этапе связана с использованием известной технологии проектирования ПИД-регуляторов.

Кажется разумным начать проектирование нечеткого контроллера с проектирования четкого ПИД-регулятора, может быть даже с П-регулятора, и добиться за счет выбора его параметров устойчивости замкнутой системы. От достигнутого результата легче перейти к нечеткому управлению. Каждый этап предлагаемого метода настройки нечеткого регулятора будет подробно рассмотрен в последующих параграфах.