19. Моделирование статических объектов управления как аппроксимация функций с помощью нейронных сетей.

1. Адаптивные нейронные нечеткие системы интерференции (anfis). . Синтез нечетких нейронных сетей

5.1. Введение

Различные типы интеллектуальных систем имеет свои осо­бенности, например, по возможностям обучения, обобщения и вы­работки результатов, что делает их наиболее пригодными для ре­шения одних классов задач и менее пригодными для других.

Например, нейронные сети хороши для задач идентификации объектов, но весьма неудобны для объяснения, как они такую идентификацию осуществляют. Они могут автоматически приобре­тать знания, но процесс их обучения зачастую происходит доста­точно медленно, а анализ обученной сети весьма сложен (обучен­ная сеть представляет обычно черный ящик для пользователя). При этом какую-либо априорную информацию (знания эксперта) для ускорения процесса ее обучения в нейронную сеть ввести не­возможно.

Системы с нечеткой логикой, напротив, хороши для объяс­нения получаемых с их помощью выводов, но они не могут авто­матически приобретать знания для использования их в меха­низмах вывода. Необходимость разбиения универсальных мно­жеств (универсумов) на отдельные области, как правило, ограничивает количест­во входных переменных в таких системах небольшим значением.

Вообще говоря, теоретически, системы с нечеткой логикой и искусственные нейронные сети подобны друг другу, однако, в со­ответствии с изложенным выше, на практике у них имеются свои собственные достоинства и недостатки. Данное соображение лег­ло в основу создания аппарата нечетких нейронных сетей, в кото­рых выводы делаются на основе аппарата нечеткой логики, но соответствующие функции принадлежности подстраиваются с ис­пользованием алгоритмов обучения нейронных сетей, например, алгоритма обратного распространения ошибки. Такие системы не только используют априорную информацию, но могут приобретать новые знания, являясь логически прозрачными.

2. Адаптивные нейронечеткие системы инференции (anfis)

Рассмотрим нечеткие нейронные сети, которые в англоязычной литературе получили название ANFIS (Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System). ANFIS имеет структуру, которая по своим функциям эквивалентна нечеткой системе логического вывода, построенной с помощью нечетких базовых правил типа Сугено. Грубо говоря, ANFIS является методом для настройки сформулированных базовых правил, точнее параметров соответствующих этим правилам функций принадлежности, с помощью алгоритмов обучения, основанных на комплекте обучающих (образцовых) данных. Такие алгоритмы позволяют адаптировать (приспосабливать) базовые правила к обучающим данным.

2. Импликация Мамдани. Внешнее произведение. Таблица импликации.

Оператор импликация на протяжении длительного времени не дает покоя теоретикам нечеткой логики. Если мы его определим классическим (традиционным) путем, т.е. как , то мы получим таблицу истинности, которая противоречит интуиции и непригодна, т.к. некоторые законы логики ею не поддерживаются, теряют силу. Под таблицей истинности понимают таблицу, определяющую истинность результата рассматриваемой операции для каждого из значений истинности исходного или исходных высказываний. Кстати, к законам логики относятся, например, закон противоречия, закон двойного отрицания, закон доказательства от противного и другие.

Многие ученые пытались дать иные определения импликации. В литературе, например, приводится список из 72 ее альтернативных определений. Одним из таких определений является так называемая импликация Гёделя, которая лучше в смысле того, что многие из «прежних, достаточно старых» (читай двухзначных) логических отношений при ее использовании имеют силу. Тремя другими примерами являются: (упрощение или симплификация), (правило отделения или modus ponens (модус поненс)) и (гипотетический силлогизм). Импликация Гёделя может быть записана так

, (1.9)

где

.

Правило Если уровень в баке есть НИЗКИЙ, то входной сигнал V₁ вентиля есть ОТКРЫТЬ является импликацией, т.к. переменная уровень влечет за собой значение V₁ на выходе регулятора. Однако импликация Гёделя,

редко используется в нечетких регуляторах (контроллерах). Значительно чаще применяется импликация, называемая импликацией Мамдани.

Определение 2 (импликация Мамдани). Пусть A и B два нечетких множества, не обязательно заданные на одном и том же универсуме, определяемые своими функциями принадлежности a и b соответственно. Импликация Мамдани определяется как

где есть внешнее произведение, применяющее операцию min к каждому элементу декартова произведения a и b. В отличие от классической импликации, которая говорит о том, что «A влечет за собой B», но ничего нельзя сказать о B, когда A не имеет место ( A и B нельзя менять местами), импликация Мамдани трактует правило Если A, то B как «Истина, что A и B одновременно имеют место». Последняя импликация симметрична и может быть инвертируема и записывается в ряде случаев как конъюнкция A и B, т.е. как A B Пусть a представляет собой вектор-столбец и b вектор-строку, тогда их

внешнее min- произведение может быть найдено в виде «таблицы умножения».

Здесь a_i = и b _j = элементы дискретных функций принадлежности множеств A и B.

Таким образом, импликация Мамдани представляет собой нечеткое отношение множеств A и B и определяется по формуле

R =A B a min b.

Матрицу R можно записать в виде R=[r _ij], где r _ij a_i b _j – (i,j)-й элемент матрицы R.

Для непрерывных универсумов нечеткое отношение имеет следующий вид

.

Как видим, каждое правило можно трактовать как импликацию, другими словами, как нечеткое отношение.

Пример 1.13 (внешнее произведение). Рассмотрим импликацию (правило) «Если уровень есть НИЗКИЙ, то входной сигнал V₁ вентиля ОТКРЫТЬ» с переменными (нечеткими множествами) НИЗКИЙ (A) и ОТКРЫТЬ (B), определяемыми c помощью дискретных функций принадлежности как

a= низкий = [ 1 0,75 0,5 0,25 0]

b=открыть = [0 0,5 1].

(1.13)

Тогда импликация, рассматриваемая как нечеткое отношение множеств НИЗКИЙ и ОТКРЫТЬ, т.е. как R=низкий min открыть, в соответствии с (1.13) вычисляется по следующей схеме

(1.13а)

Это есть весьма важный путь построения таблицы импликации исходя из правил.

Здесь a= ,

b= .

Внешнее min - произведение Мамдани так же, как и внешнее произведение с операцией , заменяемой операцией * для произведения, есть основа для построения большинства нечетких контроллеров; поэтому в последующем мы будем часто его использовать. Однако следует отметить, что Задэ и другие ученые предложили несколько других теоретических определений импликации.

Заметим, что импликация рассматривается как база знаний или просто как знание.