56. Синтез нечеткой обратной связи

Синтез контроллеров на основе общей квадратичной функции Ляпунова для объектов, моделями которых являются ТС нечеткие модели, был разработан за последние несколько лет. Проблема может быть успешно решена средствами технологии ЛМН (линейные матричные неравенства).

Рассмотрим ТС нечеткую систему (объект), описываемую правилами

Если x₁ есть A_1l …и x_n есть A_nl, то x[i+1]= A_lx[i]+ B_lu[i], y[i] = C_lx[i], l= , (1)

или эквивалентно x[i+1]= A( )x[i]+B( )u[i], y[i] = C( )x[i], (2)

где (3)

есть нормированная степень истинности условий l – го правила, определяемая выражением . (4) Здесь (5) степень истинности l-го правила, и есть степень принадлежности переменной состояния x_i к нечеткому множеству A_il. Прежде всего, введем понятие локальной управляемости. Если пары матриц (A_l, B_l), l= , полностью управляемы, то объект (1), следовательно, и (2) называется локально управляемым. При проектировании контроллеров будем считать, что система (1) локально управляемая.

* * Система является полностью управляемой, если существует управляющий сигнал , который переводит систему из нулевого начального состояния x(0)=0 в момент t₀=0 в любое другое состояние x(t) за конечное время t. Используем концепцию параллельно распределенной компенсации (ПРК), чтобы спроектировать контроллеры для ТС нечеткой системы (объекта). Идея такого способа заключается в том, чтобы спроектировать контроллер для каждого правила нечеткой модели. Рис. 1 иллюстрирует концепцию ПРК проектирования. В качестве локальных контроллеров используются статические контроллеры, другими словами нечеткие локальные обратные связи по состоянию. При этом каждый контроллер использует те же самые левые части соответствующего правила, что и система (объект) (1), т.е. описывается ТС нечеткой моделью

Если x₁ есть A_1l …и x_n есть A_nl, то u[i], = - K_lx[i], l= , (12), где K_l матричный коэффициент локальной обратной связи по состоянию. Отсюда нечеткий глобальный контроллер (нечеткая глобальная обратная связь по состоянию) определяется как u[i]= - K( )x[i]= - . (13). Подставляя (13) в (1) с учетом (3), получаем описание замкнутой нечеткой системы управления, состоящей из объекта, представленного ТС моделью (2) и охваченного нечеткой глобальной обратной связью по состоянию (13): (14). Обозначая , запишем (14) как .

Применяя Теорему 1, получаем следующее достаточное условие устойчивости.

Теорема 1: ТС нечеткая система, описываемая уравнением (1) или, что эквивалентно, уравнением (2), глобально (в целом) экспоненциально устойчивая, если

a) существует положительно определенная матрица P такая, что удовлетворяется следующее линейное матричное неравенство (ЛМН): l= , (10), или

b) существует положительно определенная матрица X такая, что удовлетворяется следующее линейное матричное неравенство (ЛМН): < 0, l= .(11)

Теорема 2. Состояние равновесия нечеткой замкнутой системы (14) является экспоненциально устойчивым в целом, если существует общая положительно определенная матрица P такая, что (15), для . При этом нетрудно придти к следующему достаточному условию устойчивости , l= , (16). Используя дополнение Шура, эту теорему можно сформулировать в рамках ЛМН так:

Состояние равновесия нечеткой замкнутой системы (14) является экспоненциально устойчивым в целом, если существуют положительно определенная матрица X и множество матриц Q_l , l= , такие, что удовлетворяется следующее ЛМН неравенство

, l,j = . (18)

При этом коэффициенты локальной матричной обратной связи по состоянию (локальный нечеткий контроллер) определяются как , l= . (19)